Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7812 / 4974
↖ ↑ ↗
← N 57.539417°
W  8.349609°		 ← 1 311.32 m → N 57.539417°
W  8.327637°		 →
↑
1 311.53 m
↓
↑
1 311.53 m
↓
N 57.527622°
W  8.349609°		 ← 1 311.74 m →
1 720 120 m²		 N 57.527622°
W  8.327637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476837158203125 y=0.303619384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476837158203125 × 214)
    floor (0.476837158203125 × 16384)
    floor (7812.5)     		tx = 7812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303619384765625 × 214)
    floor (0.303619384765625 × 16384)
    floor (4974.5)     		ty = 4974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7812 / 4974 ti = "14/7812/4974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7812/4974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7812 ÷ 214
    7812 ÷ 16384     		x = 0.476806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4974 ÷ 214
    4974 ÷ 16384     		y = 0.3035888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476806640625 × 2 - 1) × π
    -0.04638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14572817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3035888671875 × 2 - 1) × π
    0.392822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23408754381873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14572817} λ = -0.14572817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23408754381873))-π/2
    2×atan(3.4352425818913)-π/2
    2×1.28752429975844-π/2
    2.57504859951687-1.57079632675     		φ = 1.00425227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14572817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.349609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00425227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.539417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7812 KachelY 4974 -0.14572817 1.00425227 -8.349609 57.539417
    Oben rechts KachelX + 1 7813 KachelY 4974 -0.14534468 1.00425227 -8.327637 57.539417
    Unten links KachelX 7812 KachelY + 1 4975 -0.14572817 1.00404641 -8.349609 57.527622
    Unten rechts KachelX + 1 7813 KachelY + 1 4975 -0.14534468 1.00404641 -8.327637 57.527622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00425227-1.00404641) × R
    0.000205860000000113 × 6371000     		dl = 1311.53406000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00425227-1.00404641) × R
    0.000205860000000113 × 6371000     		dr = 1311.53406000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14572817--0.14534468) × cos(1.00425227) × R
    0.000383489999999986 × 0.536719270015031 × 6371000     		do = 1311.32045857868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14572817--0.14534468) × cos(1.00404641) × R
    0.000383489999999986 × 0.536892955256239 × 6371000     		du = 1311.74480892881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00425227)-sin(1.00404641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536719270015031-0.536892955256239)×R²
    abs(-0.14534468--0.14572817)×0.000173685241208643×R²
    0.000383489999999986×0.000173685241208643×6371000²
    0.000383489999999986×0.000173685241208643×40589641000000     		ar = 1720119.72604572m²