Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7812 / 4920
↖ ↑ ↗
← N 58.170703°
W  8.349609°		 ← 1 288.53 m → N 58.170703°
W  8.327637°		 →
↑
1 288.79 m
↓
↑
1 288.79 m
↓
N 58.159112°
W  8.349609°		 ← 1 288.95 m →
1 660 912 m²		 N 58.159112°
W  8.327637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476837158203125 y=0.300323486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476837158203125 × 214)
    floor (0.476837158203125 × 16384)
    floor (7812.5)     		tx = 7812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300323486328125 × 214)
    floor (0.300323486328125 × 16384)
    floor (4920.5)     		ty = 4920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7812 / 4920 ti = "14/7812/4920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7812/4920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7812 ÷ 214
    7812 ÷ 16384     		x = 0.476806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4920 ÷ 214
    4920 ÷ 16384     		y = 0.30029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476806640625 × 2 - 1) × π
    -0.04638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14572817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30029296875 × 2 - 1) × π
    0.3994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25479628445459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14572817} λ = -0.14572817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25479628445459))-π/2
    2×atan(3.50712384591769)-π/2
    2×1.29303330665543-π/2
    2.58606661331086-1.57079632675     		φ = 1.01527029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14572817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.349609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01527029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.170703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7812 KachelY 4920 -0.14572817 1.01527029 -8.349609 58.170703
    Oben rechts KachelX + 1 7813 KachelY 4920 -0.14534468 1.01527029 -8.327637 58.170703
    Unten links KachelX 7812 KachelY + 1 4921 -0.14572817 1.01506800 -8.349609 58.159112
    Unten rechts KachelX + 1 7813 KachelY + 1 4921 -0.14534468 1.01506800 -8.327637 58.159112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01527029-1.01506800) × R
    0.000202289999999827 × 6371000     		dl = 1288.7895899989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01527029-1.01506800) × R
    0.000202289999999827 × 6371000     		dr = 1288.7895899989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14572817--0.14534468) × cos(1.01527029) × R
    0.000383489999999986 × 0.527390306179784 × 6371000     		do = 1288.52779616103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14572817--0.14534468) × cos(1.01506800) × R
    0.000383489999999986 × 0.527562165651074 × 6371000     		du = 1288.94768576309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01527029)-sin(1.01506800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527390306179784-0.527562165651074)×R²
    abs(-0.14534468--0.14572817)×0.000171859471289837×R²
    0.000383489999999986×0.000171859471289837×6371000²
    0.000383489999999986×0.000171859471289837×40589641000000     		ar = 1660911.79045447m²