Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7812 / 3948
↖ ↑ ↗
← N 67.776026°
W  8.349609°		 ← 924.09 m → N 67.776026°
W  8.327637°		 →
↑
924.30 m
↓
↑
924.30 m
↓
N 67.767713°
W  8.349609°		 ← 924.42 m →
854 295 m²		 N 67.767713°
W  8.327637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476837158203125 y=0.240997314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476837158203125 × 214)
    floor (0.476837158203125 × 16384)
    floor (7812.5)     		tx = 7812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.240997314453125 × 214)
    floor (0.240997314453125 × 16384)
    floor (3948.5)     		ty = 3948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7812 / 3948 ti = "14/7812/3948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7812/3948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7812 ÷ 214
    7812 ÷ 16384     		x = 0.476806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3948 ÷ 214
    3948 ÷ 16384     		y = 0.240966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476806640625 × 2 - 1) × π
    -0.04638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14572817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.240966796875 × 2 - 1) × π
    0.51806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62755361590015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14572817} λ = -0.14572817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62755361590015))-π/2
    2×atan(5.09140394095324)-π/2
    2×1.37685556186595-π/2
    2.7537111237319-1.57079632675     		φ = 1.18291480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14572817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.349609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18291480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.776026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7812 KachelY 3948 -0.14572817 1.18291480 -8.349609 67.776026
    Oben rechts KachelX + 1 7813 KachelY 3948 -0.14534468 1.18291480 -8.327637 67.776026
    Unten links KachelX 7812 KachelY + 1 3949 -0.14572817 1.18276972 -8.349609 67.767713
    Unten rechts KachelX + 1 7813 KachelY + 1 3949 -0.14534468 1.18276972 -8.327637 67.767713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18291480-1.18276972) × R
    0.00014508000000002 × 6371000     		dl = 924.304680000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18291480-1.18276972) × R
    0.00014508000000002 × 6371000     		dr = 924.304680000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14572817--0.14534468) × cos(1.18291480) × R
    0.000383489999999986 × 0.378228168399366 × 6371000     		do = 924.092655027908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14572817--0.14534468) × cos(1.18276972) × R
    0.000383489999999986 × 0.378362466773775 × 6371000     		du = 924.420774802538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18291480)-sin(1.18276972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378228168399366-0.378362466773775)×R²
    abs(-0.14534468--0.14572817)×0.000134298374409481×R²
    0.000383489999999986×0.000134298374409481×6371000²
    0.000383489999999986×0.000134298374409481×40589641000000     		ar = 854294.808616407m²