Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7812 / 3182
↖ ↑ ↗
← N 73.340461°
W  8.349609°		 ← 700.43 m → N 73.340461°
W  8.327637°		 →
↑
700.56 m
↓
↑
700.56 m
↓
N 73.334161°
W  8.349609°		 ← 700.69 m →
490 781 m²		 N 73.334161°
W  8.327637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476837158203125 y=0.194244384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476837158203125 × 214)
    floor (0.476837158203125 × 16384)
    floor (7812.5)     		tx = 7812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194244384765625 × 214)
    floor (0.194244384765625 × 16384)
    floor (3182.5)     		ty = 3182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7812 / 3182 ti = "14/7812/3182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7812/3182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7812 ÷ 214
    7812 ÷ 16384     		x = 0.476806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3182 ÷ 214
    3182 ÷ 16384     		y = 0.1942138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476806640625 × 2 - 1) × π
    -0.04638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14572817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1942138671875 × 2 - 1) × π
    0.611572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.92131093677185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14572817} λ = -0.14572817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92131093677185))-π/2
    2×atan(6.82990617822631)-π/2
    2×1.42541442437458-π/2
    2.85082884874917-1.57079632675     		φ = 1.28003252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14572817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.349609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28003252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.340461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7812 KachelY 3182 -0.14572817 1.28003252 -8.349609 73.340461
    Oben rechts KachelX + 1 7813 KachelY 3182 -0.14534468 1.28003252 -8.327637 73.340461
    Unten links KachelX 7812 KachelY + 1 3183 -0.14572817 1.27992256 -8.349609 73.334161
    Unten rechts KachelX + 1 7813 KachelY + 1 3183 -0.14534468 1.27992256 -8.327637 73.334161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28003252-1.27992256) × R
    0.000109960000000076 × 6371000     		dl = 700.555160000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28003252-1.27992256) × R
    0.000109960000000076 × 6371000     		dr = 700.555160000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14572817--0.14534468) × cos(1.28003252) × R
    0.000383489999999986 × 0.286684054804576 × 6371000     		do = 700.430722755687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14572817--0.14534468) × cos(1.27992256) × R
    0.000383489999999986 × 0.286789397520393 × 6371000     		du = 700.688097636989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28003252)-sin(1.27992256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286684054804576-0.286789397520393)×R²
    abs(-0.14534468--0.14572817)×0.000105342715816859×R²
    0.000383489999999986×0.000105342715816859×6371000²
    0.000383489999999986×0.000105342715816859×40589641000000     		ar = 490780.510194388m²