Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78115 / 84193
↖ ↑ ↗
← S 45.523668°
E 34.549255°		 ← 213.99 m → S 45.523668°
E 34.552002°		 →
↑
213.94 m
↓
↑
213.94 m
↓
S 45.525592°
E 34.549255°		 ← 213.98 m →
45 779 m²		 S 45.525592°
E 34.552002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595973968505859 y=0.642345428466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595973968505859 × 217)
    floor (0.595973968505859 × 131072)
    floor (78115.5)     		tx = 78115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642345428466797 × 217)
    floor (0.642345428466797 × 131072)
    floor (84193.5)     		ty = 84193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78115 / 84193 ti = "17/78115/84193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78115/84193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78115 ÷ 217
    78115 ÷ 131072     		x = 0.595970153808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84193 ÷ 217
    84193 ÷ 131072     		y = 0.642341613769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595970153808594 × 2 - 1) × π
    0.191940307617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.60299826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642341613769531 × 2 - 1) × π
    -0.284683227539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.894358736211388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60299826} λ = 0.60299826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.894358736211388))-π/2
    2×atan(0.408869707929224)-π/2
    2×0.388129214347988-π/2
    0.776258428695976-1.57079632675     		φ = -0.79453790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60299826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.549255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79453790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.523668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78115 KachelY 84193 0.60299826 -0.79453790 34.549255 -45.523668
    Oben rechts KachelX + 1 78116 KachelY 84193 0.60304620 -0.79453790 34.552002 -45.523668
    Unten links KachelX 78115 KachelY + 1 84194 0.60299826 -0.79457148 34.549255 -45.525592
    Unten rechts KachelX + 1 78116 KachelY + 1 84194 0.60304620 -0.79457148 34.552002 -45.525592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79453790--0.79457148) × R
    3.35799999999775e-05 × 6371000     		dl = 213.938179999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79453790--0.79457148) × R
    3.35799999999775e-05 × 6371000     		dr = 213.938179999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60299826-0.60304620) × cos(-0.79453790) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.700614567632994 × 6371000     		do = 213.985722773947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60299826-0.60304620) × cos(-0.79457148) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.700590606567233 × 6371000     		du = 213.978404447706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79453790)-sin(-0.79457148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700614567632994-0.700590606567233)×R²
    abs(0.60304620-0.60299826)×2.3961065760969e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3961065760969e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3961065760969e-05×40589641000000     		ar = 45778.9332457881m²