Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78113 / 84198
↖ ↑ ↗
← S 45.533289°
E 34.543762°		 ← 213.90 m → S 45.533289°
E 34.546509°		 →
↑
213.94 m
↓
↑
213.94 m
↓
S 45.535213°
E 34.543762°		 ← 213.90 m →
45 762 m²		 S 45.535213°
E 34.546509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595958709716797 y=0.642383575439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595958709716797 × 217)
    floor (0.595958709716797 × 131072)
    floor (78113.5)     		tx = 78113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642383575439453 × 217)
    floor (0.642383575439453 × 131072)
    floor (84198.5)     		ty = 84198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78113 / 84198 ti = "17/78113/84198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78113/84198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78113 ÷ 217
    78113 ÷ 131072     		x = 0.595954895019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84198 ÷ 217
    84198 ÷ 131072     		y = 0.642379760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595954895019531 × 2 - 1) × π
    0.191909790039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.60290239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642379760742188 × 2 - 1) × π
    -0.284759521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.894598420709488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60290239} λ = 0.60290239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.894598420709488))-π/2
    2×atan(0.408771719942061)-π/2
    2×0.388045258302191-π/2
    0.776090516604381-1.57079632675     		φ = -0.79470581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60290239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.543762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79470581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.533289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78113 KachelY 84198 0.60290239 -0.79470581 34.543762 -45.533289
    Oben rechts KachelX + 1 78114 KachelY 84198 0.60295032 -0.79470581 34.546509 -45.533289
    Unten links KachelX 78113 KachelY + 1 84199 0.60290239 -0.79473939 34.543762 -45.535213
    Unten rechts KachelX + 1 78114 KachelY + 1 84199 0.60295032 -0.79473939 34.546509 -45.535213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79470581--0.79473939) × R
    3.35800000000885e-05 × 6371000     		dl = 213.938180000564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79470581--0.79473939) × R
    3.35800000000885e-05 × 6371000     		dr = 213.938180000564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60290239-0.60295032) × cos(-0.79470581) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.700494747267909 × 6371000     		do = 213.904498030197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60290239-0.60295032) × cos(-0.79473939) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.700470782252196 × 6371000     		du = 213.897180024349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79470581)-sin(-0.79473939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700494747267909-0.700470782252196)×R²
    abs(0.60295032-0.60290239)×2.39650157133342e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39650157133342e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39650157133342e-05×40589641000000     		ar = 45761.5562063792m²