Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78110 / 84199
↖ ↑ ↗
← S 45.535213°
E 34.535523°		 ← 213.90 m → S 45.535213°
E 34.538269°		 →
↑
213.94 m
↓
↑
213.94 m
↓
S 45.537137°
E 34.535523°		 ← 213.89 m →
45 760 m²		 S 45.537137°
E 34.538269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595935821533203 y=0.642391204833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595935821533203 × 217)
    floor (0.595935821533203 × 131072)
    floor (78110.5)     		tx = 78110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642391204833984 × 217)
    floor (0.642391204833984 × 131072)
    floor (84199.5)     		ty = 84199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78110 / 84199 ti = "17/78110/84199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78110/84199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78110 ÷ 217
    78110 ÷ 131072     		x = 0.595932006835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84199 ÷ 217
    84199 ÷ 131072     		y = 0.642387390136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595932006835938 × 2 - 1) × π
    0.191864013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.60275858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642387390136719 × 2 - 1) × π
    -0.284774780273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.894646357609108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60275858} λ = 0.60275858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.894646357609108))-π/2
    2×atan(0.408752125162815)-π/2
    2×0.388028468816195-π/2
    0.776056937632391-1.57079632675     		φ = -0.79473939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60275858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.535523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79473939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.535213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78110 KachelY 84199 0.60275858 -0.79473939 34.535523 -45.535213
    Oben rechts KachelX + 1 78111 KachelY 84199 0.60280651 -0.79473939 34.538269 -45.535213
    Unten links KachelX 78110 KachelY + 1 84200 0.60275858 -0.79477297 34.535523 -45.537137
    Unten rechts KachelX + 1 78111 KachelY + 1 84200 0.60280651 -0.79477297 34.538269 -45.537137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79473939--0.79477297) × R
    3.35799999999775e-05 × 6371000     		dl = 213.938179999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79473939--0.79477297) × R
    3.35799999999775e-05 × 6371000     		dr = 213.938179999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60275858-0.60280651) × cos(-0.79473939) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.700470782252196 × 6371000     		do = 213.897180023854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60275858-0.60280651) × cos(-0.79477297) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.70044681644662 × 6371000     		du = 213.889861776813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79473939)-sin(-0.79477297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700470782252196-0.70044681644662)×R²
    abs(0.60280651-0.60275858)×2.39658055757319e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39658055757319e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39658055757319e-05×40589641000000     		ar = 45759.990579419m²