Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78103 / 57097
↖ ↑ ↗
← N 22.570902°
E 34.516297°		 ← 281.97 m → N 22.570902°
E 34.519043°		 →
↑
282.04 m
↓
↑
282.04 m
↓
N 22.568366°
E 34.516297°		 ← 281.98 m →
79 530 m²		 N 22.568366°
E 34.519043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595882415771484 y=0.435619354248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595882415771484 × 217)
    floor (0.595882415771484 × 131072)
    floor (78103.5)     		tx = 78103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435619354248047 × 217)
    floor (0.435619354248047 × 131072)
    floor (57097.5)     		ty = 57097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78103 / 57097 ti = "17/78103/57097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78103/57097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78103 ÷ 217
    78103 ÷ 131072     		x = 0.595878601074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57097 ÷ 217
    57097 ÷ 131072     		y = 0.435615539550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595878601074219 × 2 - 1) × π
    0.191757202148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.60242302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435615539550781 × 2 - 1) × π
    0.128768920898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.404539495893654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60242302} λ = 0.60242302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404539495893654))-π/2
    2×atan(1.4986122240485)-π/2
    2×0.982366441609232-π/2
    1.96473288321846-1.57079632675     		φ = 0.39393656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60242302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.516297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39393656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.570902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78103 KachelY 57097 0.60242302 0.39393656 34.516297 22.570902
    Oben rechts KachelX + 1 78104 KachelY 57097 0.60247095 0.39393656 34.519043 22.570902
    Unten links KachelX 78103 KachelY + 1 57098 0.60242302 0.39389229 34.516297 22.568366
    Unten rechts KachelX + 1 78104 KachelY + 1 57098 0.60247095 0.39389229 34.519043 22.568366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39393656-0.39389229) × R
    4.42700000000129e-05 × 6371000     		dl = 282.044170000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39393656-0.39389229) × R
    4.42700000000129e-05 × 6371000     		dr = 282.044170000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60242302-0.60247095) × cos(0.39393656) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.923405262795795 × 6371000     		do = 281.972905559527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60242302-0.60247095) × cos(0.39389229) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.92342225388654 × 6371000     		du = 281.978093993489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39393656)-sin(0.39389229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923405262795795-0.92342225388654)×R²
    abs(0.60247095-0.60242302)×1.69910907450443e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.69910907450443e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.69910907450443e-05×40589641000000     		ar = 79529.5458077545m²