Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78101 / 82189
↖ ↑ ↗
← S 41.535310°
E 34.510803°		 ← 228.63 m → S 41.535310°
E 34.513550°		 →
↑
228.59 m
↓
↑
228.59 m
↓
S 41.537366°
E 34.510803°		 ← 228.62 m →
52 261 m²		 S 41.537366°
E 34.513550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595867156982422 y=0.627056121826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595867156982422 × 217)
    floor (0.595867156982422 × 131072)
    floor (78101.5)     		tx = 78101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627056121826172 × 217)
    floor (0.627056121826172 × 131072)
    floor (82189.5)     		ty = 82189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78101 / 82189 ti = "17/78101/82189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78101/82189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78101 ÷ 217
    78101 ÷ 131072     		x = 0.595863342285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82189 ÷ 217
    82189 ÷ 131072     		y = 0.627052307128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595863342285156 × 2 - 1) × π
    0.191726684570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.60232714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627052307128906 × 2 - 1) × π
    -0.254104614257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.798293189372795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60232714} λ = 0.60232714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.798293189372795))-π/2
    2×atan(0.450096538433947)-π/2
    2×0.422934204674525-π/2
    0.84586840934905-1.57079632675     		φ = -0.72492792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60232714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.510803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72492792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.535310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78101 KachelY 82189 0.60232714 -0.72492792 34.510803 -41.535310
    Oben rechts KachelX + 1 78102 KachelY 82189 0.60237508 -0.72492792 34.513550 -41.535310
    Unten links KachelX 78101 KachelY + 1 82190 0.60232714 -0.72496380 34.510803 -41.537366
    Unten rechts KachelX + 1 78102 KachelY + 1 82190 0.60237508 -0.72496380 34.513550 -41.537366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72492792--0.72496380) × R
    3.58800000000992e-05 × 6371000     		dl = 228.591480000632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72492792--0.72496380) × R
    3.58800000000992e-05 × 6371000     		dr = 228.591480000632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60232714-0.60237508) × cos(-0.72492792) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748547218824407 × 6371000     		do = 228.625588234236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60232714-0.60237508) × cos(-0.72496380) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748523426978752 × 6371000     		du = 228.618321592171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72492792)-sin(-0.72496380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748547218824407-0.748523426978752)×R²
    abs(0.60237508-0.60232714)×2.37918456542641e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37918456542641e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37918456542641e-05×40589641000000     		ar = 52261.0310397626m²