Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78101 / 57151
↖ ↑ ↗
← N 22.433879°
E 34.510803°		 ← 282.31 m → N 22.433879°
E 34.513550°		 →
↑
282.30 m
↓
↑
282.30 m
↓
N 22.431340°
E 34.510803°		 ← 282.32 m →
79 697 m²		 N 22.431340°
E 34.513550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595867156982422 y=0.436031341552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595867156982422 × 217)
    floor (0.595867156982422 × 131072)
    floor (78101.5)     		tx = 78101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436031341552734 × 217)
    floor (0.436031341552734 × 131072)
    floor (57151.5)     		ty = 57151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78101 / 57151 ti = "17/78101/57151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78101/57151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78101 ÷ 217
    78101 ÷ 131072     		x = 0.595863342285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57151 ÷ 217
    57151 ÷ 131072     		y = 0.436027526855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595863342285156 × 2 - 1) × π
    0.191726684570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.60232714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436027526855469 × 2 - 1) × π
    0.127944946289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.401950903314171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60232714} λ = 0.60232714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.401950903314171))-π/2
    2×atan(1.49473794419525)-π/2
    2×0.98117068880704-π/2
    1.96234137761408-1.57079632675     		φ = 0.39154505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60232714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.510803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39154505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.433879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78101 KachelY 57151 0.60232714 0.39154505 34.510803 22.433879
    Oben rechts KachelX + 1 78102 KachelY 57151 0.60237508 0.39154505 34.513550 22.433879
    Unten links KachelX 78101 KachelY + 1 57152 0.60232714 0.39150074 34.510803 22.431340
    Unten rechts KachelX + 1 78102 KachelY + 1 57152 0.60237508 0.39150074 34.513550 22.431340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39154505-0.39150074) × R
    4.43099999999919e-05 × 6371000     		dl = 282.299009999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39154505-0.39150074) × R
    4.43099999999919e-05 × 6371000     		dr = 282.299009999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60232714-0.60237508) × cos(0.39154505) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924320546018481 × 6371000     		do = 282.311286764713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60232714-0.60237508) × cos(0.39150074) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924337454559975 × 6371000     		du = 282.316451068512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39154505)-sin(0.39150074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924320546018481-0.924337454559975)×R²
    abs(0.60237508-0.60232714)×1.69085414938319e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69085414938319e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69085414938319e-05×40589641000000     		ar = 79696.9257174186m²