Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78100 / 84180
↖ ↑ ↗
← S 45.498647°
E 34.508057°		 ← 214.04 m → S 45.498647°
E 34.510803°		 →
↑
214.07 m
↓
↑
214.07 m
↓
S 45.500572°
E 34.508057°		 ← 214.03 m →
45 817 m²		 S 45.500572°
E 34.510803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595859527587891 y=0.642246246337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595859527587891 × 217)
    floor (0.595859527587891 × 131072)
    floor (78100.5)     		tx = 78100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642246246337891 × 217)
    floor (0.642246246337891 × 131072)
    floor (84180.5)     		ty = 84180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78100 / 84180 ti = "17/78100/84180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78100/84180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78100 ÷ 217
    78100 ÷ 131072     		x = 0.595855712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84180 ÷ 217
    84180 ÷ 131072     		y = 0.642242431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595855712890625 × 2 - 1) × π
    0.19171142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.60227921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642242431640625 × 2 - 1) × π
    -0.28448486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.893735556516327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60227921} λ = 0.60227921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893735556516327))-π/2
    2×atan(0.409124586638501)-π/2
    2×0.388347567270979-π/2
    0.776695134541957-1.57079632675     		φ = -0.79410119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60227921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.508057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79410119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.498647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78100 KachelY 84180 0.60227921 -0.79410119 34.508057 -45.498647
    Oben rechts KachelX + 1 78101 KachelY 84180 0.60232714 -0.79410119 34.510803 -45.498647
    Unten links KachelX 78100 KachelY + 1 84181 0.60227921 -0.79413479 34.508057 -45.500572
    Unten rechts KachelX + 1 78101 KachelY + 1 84181 0.60232714 -0.79413479 34.510803 -45.500572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79410119--0.79413479) × R
    3.3599999999967e-05 × 6371000     		dl = 214.06559999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79410119--0.79413479) × R
    3.3599999999967e-05 × 6371000     		dr = 214.06559999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60227921-0.60232714) × cos(-0.79410119) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.700926110835598 × 6371000     		do = 214.036220084894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60227921-0.60232714) × cos(-0.79413479) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.700902145781115 × 6371000     		du = 214.028902067208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79410119)-sin(-0.79413479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700926110835598-0.700902145781115)×R²
    abs(0.60232714-0.60227921)×2.39650544830994e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39650544830994e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39650544830994e-05×40589641000000     		ar = 45817.0086106046m²