Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7810 / 9602
↖ ↑ ↗
← S 29.573457°
W  8.393555°		 ← 2 124.98 m → S 29.573457°
W  8.371582°		 →
↑
2 124.73 m
↓
↑
2 124.73 m
↓
S 29.592565°
W  8.393555°		 ← 2 124.57 m →
4 514 572 m²		 S 29.592565°
W  8.371582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476715087890625 y=0.586090087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476715087890625 × 214)
    floor (0.476715087890625 × 16384)
    floor (7810.5)     		tx = 7810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586090087890625 × 214)
    floor (0.586090087890625 × 16384)
    floor (9602.5)     		ty = 9602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7810 / 9602 ti = "14/7810/9602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7810/9602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7810 ÷ 214
    7810 ÷ 16384     		x = 0.4766845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9602 ÷ 214
    9602 ÷ 16384     		y = 0.5860595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4766845703125 × 2 - 1) × π
    -0.046630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14649517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5860595703125 × 2 - 1) × π
    -0.172119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.540728227714233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14649517} λ = -0.14649517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.540728227714233))-π/2
    2×atan(0.582324033428934)-π/2
    2×0.527321064843488-π/2
    1.05464212968698-1.57079632675     		φ = -0.51615420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14649517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.393555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51615420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.573457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7810 KachelY 9602 -0.14649517 -0.51615420 -8.393555 -29.573457
    Oben rechts KachelX + 1 7811 KachelY 9602 -0.14611167 -0.51615420 -8.371582 -29.573457
    Unten links KachelX 7810 KachelY + 1 9603 -0.14649517 -0.51648770 -8.393555 -29.592565
    Unten rechts KachelX + 1 7811 KachelY + 1 9603 -0.14611167 -0.51648770 -8.371582 -29.592565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51615420--0.51648770) × R
    0.000333499999999987 × 6371000     		dl = 2124.72849999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51615420--0.51648770) × R
    0.000333499999999987 × 6371000     		dr = 2124.72849999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14649517--0.14611167) × cos(-0.51615420) × R
    0.000383500000000009 × 0.86972365900934 × 6371000     		do = 2124.9771169989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14649517--0.14611167) × cos(-0.51648770) × R
    0.000383500000000009 × 0.869559015385378 × 6371000     		du = 2124.57484677231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51615420)-sin(-0.51648770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86972365900934-0.869559015385378)×R²
    abs(-0.14611167--0.14649517)×0.000164643623962069×R²
    0.000383500000000009×0.000164643623962069×6371000²
    0.000383500000000009×0.000164643623962069×40589641000000     		ar = 4514572.12667119m²