Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7810 / 5009
↖ ↑ ↗
← N 57.124314°
W  8.393555°		 ← 1 326.26 m → N 57.124314°
W  8.371582°		 →
↑
1 326.44 m
↓
↑
1 326.44 m
↓
N 57.112385°
W  8.393555°		 ← 1 326.68 m →
1 759 485 m²		 N 57.112385°
W  8.371582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476715087890625 y=0.305755615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476715087890625 × 214)
    floor (0.476715087890625 × 16384)
    floor (7810.5)     		tx = 7810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305755615234375 × 214)
    floor (0.305755615234375 × 16384)
    floor (5009.5)     		ty = 5009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7810 / 5009 ti = "14/7810/5009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7810/5009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7810 ÷ 214
    7810 ÷ 16384     		x = 0.4766845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5009 ÷ 214
    5009 ÷ 16384     		y = 0.30572509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4766845703125 × 2 - 1) × π
    -0.046630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14649517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30572509765625 × 2 - 1) × π
    0.3885498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22066521192511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14649517} λ = -0.14649517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22066521192511))-π/2
    2×atan(3.38944168088751)-π/2
    2×1.28390184524515-π/2
    2.5678036904903-1.57079632675     		φ = 0.99700736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14649517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.393555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99700736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.124314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7810 KachelY 5009 -0.14649517 0.99700736 -8.393555 57.124314
    Oben rechts KachelX + 1 7811 KachelY 5009 -0.14611167 0.99700736 -8.371582 57.124314
    Unten links KachelX 7810 KachelY + 1 5010 -0.14649517 0.99679916 -8.393555 57.112385
    Unten rechts KachelX + 1 7811 KachelY + 1 5010 -0.14611167 0.99679916 -8.371582 57.112385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99700736-0.99679916) × R
    0.000208199999999992 × 6371000     		dl = 1326.44219999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99700736-0.99679916) × R
    0.000208199999999992 × 6371000     		dr = 1326.44219999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14649517--0.14611167) × cos(0.99700736) × R
    0.000383500000000009 × 0.542818102393969 × 6371000     		do = 1326.25579899001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14649517--0.14611167) × cos(0.99679916) × R
    0.000383500000000009 × 0.542992947458015 × 6371000     		du = 1326.68299417583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99700736)-sin(0.99679916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542818102393969-0.542992947458015)×R²
    abs(-0.14611167--0.14649517)×0.000174845064046081×R²
    0.000383500000000009×0.000174845064046081×6371000²
    0.000383500000000009×0.000174845064046081×40589641000000     		ar = 1759484.99099136m²