Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7810 / 4917
↖ ↑ ↗
← N 58.205450°
W  8.393555°		 ← 1 287.30 m → N 58.205450°
W  8.371582°		 →
↑
1 287.52 m
↓
↑
1 287.52 m
↓
N 58.193871°
W  8.393555°		 ← 1 287.72 m →
1 657 692 m²		 N 58.193871°
W  8.371582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476715087890625 y=0.300140380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476715087890625 × 214)
    floor (0.476715087890625 × 16384)
    floor (7810.5)     		tx = 7810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300140380859375 × 214)
    floor (0.300140380859375 × 16384)
    floor (4917.5)     		ty = 4917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7810 / 4917 ti = "14/7810/4917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7810/4917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7810 ÷ 214
    7810 ÷ 16384     		x = 0.4766845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4917 ÷ 214
    4917 ÷ 16384     		y = 0.30010986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4766845703125 × 2 - 1) × π
    -0.046630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14649517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30010986328125 × 2 - 1) × π
    0.3997802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25594677004547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14649517} λ = -0.14649517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25594677004547))-π/2
    2×atan(3.51116106330276)-π/2
    2×1.29333653588827-π/2
    2.58667307177654-1.57079632675     		φ = 1.01587675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14649517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.393555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01587675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.205450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7810 KachelY 4917 -0.14649517 1.01587675 -8.393555 58.205450
    Oben rechts KachelX + 1 7811 KachelY 4917 -0.14611167 1.01587675 -8.371582 58.205450
    Unten links KachelX 7810 KachelY + 1 4918 -0.14649517 1.01567466 -8.393555 58.193871
    Unten rechts KachelX + 1 7811 KachelY + 1 4918 -0.14611167 1.01567466 -8.371582 58.193871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01587675-1.01567466) × R
    0.000202090000000155 × 6371000     		dl = 1287.51539000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01587675-1.01567466) × R
    0.000202090000000155 × 6371000     		dr = 1287.51539000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14649517--0.14611167) × cos(1.01587675) × R
    0.000383500000000009 × 0.526874946781844 × 6371000     		do = 1287.30222966075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14649517--0.14611167) × cos(1.01567466) × R
    0.000383500000000009 × 0.527046700965475 × 6371000     		du = 1287.7218729649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01587675)-sin(1.01567466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526874946781844-0.527046700965475)×R²
    abs(-0.14611167--0.14649517)×0.000171754183631134×R²
    0.000383500000000009×0.000171754183631134×6371000²
    0.000383500000000009×0.000171754183631134×40589641000000     		ar = 1657691.58651955m²