Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7810 / 3478
↖ ↑ ↗
← N 71.371109°
W  8.393555°		 ← 780.47 m → N 71.371109°
W  8.371582°		 →
↑
780.57 m
↓
↑
780.57 m
↓
N 71.364090°
W  8.393555°		 ← 780.76 m →
609 329 m²		 N 71.364090°
W  8.371582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476715087890625 y=0.212310791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476715087890625 × 214)
    floor (0.476715087890625 × 16384)
    floor (7810.5)     		tx = 7810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212310791015625 × 214)
    floor (0.212310791015625 × 16384)
    floor (3478.5)     		ty = 3478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7810 / 3478 ti = "14/7810/3478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7810/3478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7810 ÷ 214
    7810 ÷ 16384     		x = 0.4766845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3478 ÷ 214
    3478 ÷ 16384     		y = 0.2122802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4766845703125 × 2 - 1) × π
    -0.046630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14649517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2122802734375 × 2 - 1) × π
    0.575439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.80779635847156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14649517} λ = -0.14649517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80779635847156))-π/2
    2×atan(6.09699702189595)-π/2
    2×1.40822858846387-π/2
    2.81645717692775-1.57079632675     		φ = 1.24566085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14649517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.393555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24566085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.371109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7810 KachelY 3478 -0.14649517 1.24566085 -8.393555 71.371109
    Oben rechts KachelX + 1 7811 KachelY 3478 -0.14611167 1.24566085 -8.371582 71.371109
    Unten links KachelX 7810 KachelY + 1 3479 -0.14649517 1.24553833 -8.393555 71.364090
    Unten rechts KachelX + 1 7811 KachelY + 1 3479 -0.14611167 1.24553833 -8.371582 71.364090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24566085-1.24553833) × R
    0.000122519999999904 × 6371000     		dl = 780.574919999387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24566085-1.24553833) × R
    0.000122519999999904 × 6371000     		dr = 780.574919999387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14649517--0.14611167) × cos(1.24566085) × R
    0.000383500000000009 × 0.319437167609414 × 6371000     		do = 780.473963720995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14649517--0.14611167) × cos(1.24553833) × R
    0.000383500000000009 × 0.319553266077414 × 6371000     		du = 780.757624611743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24566085)-sin(1.24553833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319437167609414-0.319553266077414)×R²
    abs(-0.14611167--0.14649517)×0.000116098468000425×R²
    0.000383500000000009×0.000116098468000425×6371000²
    0.000383500000000009×0.000116098468000425×40589641000000     		ar = 609329.11184319m²