Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7810 / 3208
↖ ↑ ↗
← N 73.175897°
W  8.393555°		 ← 707.17 m → N 73.175897°
W  8.371582°		 →
↑
707.31 m
↓
↑
707.31 m
↓
N 73.169536°
W  8.393555°		 ← 707.43 m →
500 278 m²		 N 73.169536°
W  8.371582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476715087890625 y=0.195831298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476715087890625 × 214)
    floor (0.476715087890625 × 16384)
    floor (7810.5)     		tx = 7810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195831298828125 × 214)
    floor (0.195831298828125 × 16384)
    floor (3208.5)     		ty = 3208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7810 / 3208 ti = "14/7810/3208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7810/3208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7810 ÷ 214
    7810 ÷ 16384     		x = 0.4766845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3208 ÷ 214
    3208 ÷ 16384     		y = 0.19580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4766845703125 × 2 - 1) × π
    -0.046630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14649517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19580078125 × 2 - 1) × π
    0.6083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91134006165088
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14649517} λ = -0.14649517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91134006165088))-π/2
    2×atan(6.76214442004559)-π/2
    2×1.42397833278507-π/2
    2.84795666557014-1.57079632675     		φ = 1.27716034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14649517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.393555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27716034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.175897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7810 KachelY 3208 -0.14649517 1.27716034 -8.393555 73.175897
    Oben rechts KachelX + 1 7811 KachelY 3208 -0.14611167 1.27716034 -8.371582 73.175897
    Unten links KachelX 7810 KachelY + 1 3209 -0.14649517 1.27704932 -8.393555 73.169536
    Unten rechts KachelX + 1 7811 KachelY + 1 3209 -0.14611167 1.27704932 -8.371582 73.169536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27716034-1.27704932) × R
    0.000111020000000073 × 6371000     		dl = 707.308420000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27716034-1.27704932) × R
    0.000111020000000073 × 6371000     		dr = 707.308420000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14649517--0.14611167) × cos(1.27716034) × R
    0.000383500000000009 × 0.289434489306181 × 6371000     		do = 707.169064880287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14649517--0.14611167) × cos(1.27704932) × R
    0.000383500000000009 × 0.289540755624803 × 6371000     		du = 707.42870309185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27716034)-sin(1.27704932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289434489306181-0.289540755624803)×R²
    abs(-0.14611167--0.14649517)×0.000106266318621984×R²
    0.000383500000000009×0.000106266318621984×6371000²
    0.000383500000000009×0.000106266318621984×40589641000000     		ar = 500278.456614353m²