Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 781 / 793
↖ ↑ ↗
← S 69.778952°
E 94.570313°		 ← 13.512 km → S 69.778952°
E 94.921875°		 →
↑
13.473 km
↓
↑
13.473 km
↓
S 69.900118°
E 94.570313°		 ← 13.434 km →
181.523 km²		 S 69.900118°
E 94.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76318359375 y=0.77490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76318359375 × 210)
    floor (0.76318359375 × 1024)
    floor (781.5)     		tx = 781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77490234375 × 210)
    floor (0.77490234375 × 1024)
    floor (793.5)     		ty = 793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 781 / 793 ti = "10/781/793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/781/793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 781 ÷ 210
    781 ÷ 1024     		x = 0.7626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 793 ÷ 210
    793 ÷ 1024     		y = 0.7744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7626953125 × 2 - 1) × π
    0.525390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65056333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7744140625 × 2 - 1) × π
    -0.548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72419440553418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65056333} λ = 1.65056333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72419440553418))-π/2
    2×atan(0.178316644828485)-π/2
    2×0.176461934861112-π/2
    0.352923869722225-1.57079632675     		φ = -1.21787246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65056333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.570313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21787246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.778952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 781 KachelY 793 1.65056333 -1.21787246 94.570313 -69.778952
    Oben rechts KachelX + 1 782 KachelY 793 1.65669925 -1.21787246 94.921875 -69.778952
    Unten links KachelX 781 KachelY + 1 794 1.65056333 -1.21998720 94.570313 -69.900118
    Unten rechts KachelX + 1 782 KachelY + 1 794 1.65669925 -1.21998720 94.921875 -69.900118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21787246--1.21998720) × R
    0.00211474000000011 × 6371000     		dl = 13473.0085400007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21787246--1.21998720) × R
    0.00211474000000011 × 6371000     		dr = 13473.0085400007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65056333-1.65669925) × cos(-1.21787246) × R
    0.00613591999999996 × 0.345642938510007 × 6371000     		do = 13511.8551981202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65056333-1.65669925) × cos(-1.21998720) × R
    0.00613591999999996 × 0.343657766759656 × 6371000     		du = 13434.2509706195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21787246)-sin(-1.21998720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345642938510007-0.343657766759656)×R²
    abs(1.65669925-1.65056333)×0.00198517175035123×R²
    0.00613591999999996×0.00198517175035123×6371000²
    0.00613591999999996×0.00198517175035123×40589641000000     		ar = 181522626.914934m²