Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78091 / 82165
↖ ↑ ↗
← S 41.485949°
E 34.483337°		 ← 228.80 m → S 41.485949°
E 34.486084°		 →
↑
228.78 m
↓
↑
228.78 m
↓
S 41.488006°
E 34.483337°		 ← 228.79 m →
52 345 m²		 S 41.488006°
E 34.486084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595790863037109 y=0.626873016357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595790863037109 × 217)
    floor (0.595790863037109 × 131072)
    floor (78091.5)     		tx = 78091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626873016357422 × 217)
    floor (0.626873016357422 × 131072)
    floor (82165.5)     		ty = 82165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78091 / 82165 ti = "17/78091/82165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78091/82165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78091 ÷ 217
    78091 ÷ 131072     		x = 0.595787048339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82165 ÷ 217
    82165 ÷ 131072     		y = 0.626869201660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595787048339844 × 2 - 1) × π
    0.191574096679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.60184777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626869201660156 × 2 - 1) × π
    -0.253738403320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.797142703781914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60184777} λ = 0.60184777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.797142703781914))-π/2
    2×atan(0.450614666007924)-π/2
    2×0.423364965302282-π/2
    0.846729930604564-1.57079632675     		φ = -0.72406640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60184777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.483337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72406640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.485949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78091 KachelY 82165 0.60184777 -0.72406640 34.483337 -41.485949
    Oben rechts KachelX + 1 78092 KachelY 82165 0.60189571 -0.72406640 34.486084 -41.485949
    Unten links KachelX 78091 KachelY + 1 82166 0.60184777 -0.72410231 34.483337 -41.488006
    Unten rechts KachelX + 1 78092 KachelY + 1 82166 0.60189571 -0.72410231 34.486084 -41.488006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72406640--0.72410231) × R
    3.59100000000279e-05 × 6371000     		dl = 228.782610000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72406640--0.72410231) × R
    3.59100000000279e-05 × 6371000     		dr = 228.782610000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60184777-0.60189571) × cos(-0.72406640) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.749118198926122 × 6371000     		do = 228.799980254328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60184777-0.60189571) × cos(-0.72410231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.749094410353625 × 6371000     		du = 228.79271461197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72406640)-sin(-0.72410231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749118198926122-0.749094410353625)×R²
    abs(0.60189571-0.60184777)×2.37885724969633e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37885724969633e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37885724969633e-05×40589641000000     		ar = 52344.625529825m²