Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 7809 / 25729
↖ ↑ ↗
← S 71.077619°
W 94.207764°		 ← 396.16 m → S 71.077619°
W 94.196777°		 →
↑
396.15 m
↓
↑
396.15 m
↓
S 71.081182°
W 94.207764°		 ← 396.09 m →
156 925 m²		 S 71.081182°
W 94.196777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.238327026367188 y=0.785202026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.238327026367188 × 215)
    floor (0.238327026367188 × 32768)
    floor (7809.5)     		tx = 7809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785202026367188 × 215)
    floor (0.785202026367188 × 32768)
    floor (25729.5)     		ty = 25729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7809 / 25729 ti = "15/7809/25729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7809/25729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7809 ÷ 215
    7809 ÷ 32768     		x = 0.238311767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25729 ÷ 215
    25729 ÷ 32768     		y = 0.785186767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.238311767578125 × 2 - 1) × π
    -0.52337646484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.64423566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785186767578125 × 2 - 1) × π
    -0.57037353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7918813077977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.64423566} λ = -1.64423566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7918813077977))-π/2
    2×atan(0.166646361475396)-π/2
    2×0.165128920947259-π/2
    0.330257841894518-1.57079632675     		φ = -1.24053848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.64423566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -94.207764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24053848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.077619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7809 KachelY 25729 -1.64423566 -1.24053848 -94.207764 -71.077619
    Oben rechts KachelX + 1 7810 KachelY 25729 -1.64404391 -1.24053848 -94.196777 -71.077619
    Unten links KachelX 7809 KachelY + 1 25730 -1.64423566 -1.24060066 -94.207764 -71.081182
    Unten rechts KachelX + 1 7810 KachelY + 1 25730 -1.64404391 -1.24060066 -94.196777 -71.081182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24053848--1.24060066) × R
    6.21799999998007e-05 × 6371000     		dl = 396.14877999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24053848--1.24060066) × R
    6.21799999998007e-05 × 6371000     		dr = 396.14877999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.64423566--1.64404391) × cos(-1.24053848) × R
    0.000191750000000157 × 0.324286951606285 × 6371000     		do = 396.161668345413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.64423566--1.64404391) × cos(-1.24060066) × R
    0.000191750000000157 × 0.324228131263808 × 6371000     		du = 396.089811106345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24053848)-sin(-1.24060066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324286951606285-0.324228131263808)×R²
    abs(-1.64404391--1.64423566)×5.88203424769507e-05×R²
    0.000191750000000157×5.88203424769507e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.88203424769507e-05×40589641000000     		ar = 156924.728568266m²