Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78088 / 84200
↖ ↑ ↗
← S 45.537137°
E 34.475097°		 ← 213.93 m → S 45.537137°
E 34.477844°		 →
↑
213.87 m
↓
↑
213.87 m
↓
S 45.539060°
E 34.475097°		 ← 213.93 m →
45 754 m²		 S 45.539060°
E 34.477844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595767974853516 y=0.642398834228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595767974853516 × 217)
    floor (0.595767974853516 × 131072)
    floor (78088.5)     		tx = 78088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642398834228516 × 217)
    floor (0.642398834228516 × 131072)
    floor (84200.5)     		ty = 84200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78088 / 84200 ti = "17/78088/84200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78088/84200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78088 ÷ 217
    78088 ÷ 131072     		x = 0.59576416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84200 ÷ 217
    84200 ÷ 131072     		y = 0.64239501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59576416015625 × 2 - 1) × π
    0.1915283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.60170396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64239501953125 × 2 - 1) × π
    -0.2847900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.894694294508728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60170396} λ = 0.60170396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.894694294508728))-π/2
    2×atan(0.408732531322859)-π/2
    2×0.388011679904586-π/2
    0.776023359809172-1.57079632675     		φ = -0.79477297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60170396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.475097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79477297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.537137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78088 KachelY 84200 0.60170396 -0.79477297 34.475097 -45.537137
    Oben rechts KachelX + 1 78089 KachelY 84200 0.60175190 -0.79477297 34.477844 -45.537137
    Unten links KachelX 78088 KachelY + 1 84201 0.60170396 -0.79480654 34.475097 -45.539060
    Unten rechts KachelX + 1 78089 KachelY + 1 84201 0.60175190 -0.79480654 34.477844 -45.539060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79477297--0.79480654) × R
    3.35699999999273e-05 × 6371000     		dl = 213.874469999537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79477297--0.79480654) × R
    3.35699999999273e-05 × 6371000     		dr = 213.874469999537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60170396-0.60175190) × cos(-0.79477297) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.70044681644662 × 6371000     		do = 213.934487243713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60170396-0.60175190) × cos(-0.79480654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.70042285698849 × 6371000     		du = 213.927169408483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79477297)-sin(-0.79480654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70044681644662-0.70042285698849)×R²
    abs(0.60175190-0.60170396)×2.39594581297187e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39594581297187e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39594581297187e-05×40589641000000     		ar = 45754.3425291117m²