Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78087 / 82169
↖ ↑ ↗
← S 41.494178°
E 34.472351°		 ← 228.72 m → S 41.494178°
E 34.475097°		 →
↑
228.72 m
↓
↑
228.72 m
↓
S 41.496235°
E 34.472351°		 ← 228.72 m →
52 312 m²		 S 41.496235°
E 34.475097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595760345458984 y=0.626903533935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595760345458984 × 217)
    floor (0.595760345458984 × 131072)
    floor (78087.5)     		tx = 78087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626903533935547 × 217)
    floor (0.626903533935547 × 131072)
    floor (82169.5)     		ty = 82169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78087 / 82169 ti = "17/78087/82169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78087/82169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78087 ÷ 217
    78087 ÷ 131072     		x = 0.595756530761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82169 ÷ 217
    82169 ÷ 131072     		y = 0.626899719238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595756530761719 × 2 - 1) × π
    0.191513061523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.60165603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626899719238281 × 2 - 1) × π
    -0.253799438476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.797334451380394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60165603} λ = 0.60165603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.797334451380394))-π/2
    2×atan(0.450528270011255)-π/2
    2×0.423293149055643-π/2
    0.846586298111286-1.57079632675     		φ = -0.72421003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60165603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.472351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72421003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.494178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78087 KachelY 82169 0.60165603 -0.72421003 34.472351 -41.494178
    Oben rechts KachelX + 1 78088 KachelY 82169 0.60170396 -0.72421003 34.475097 -41.494178
    Unten links KachelX 78087 KachelY + 1 82170 0.60165603 -0.72424593 34.472351 -41.496235
    Unten rechts KachelX + 1 78088 KachelY + 1 82170 0.60170396 -0.72424593 34.475097 -41.496235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72421003--0.72424593) × R
    3.59000000000886e-05 × 6371000     		dl = 228.718900000565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72421003--0.72424593) × R
    3.59000000000886e-05 × 6371000     		dr = 228.718900000565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60165603-0.60170396) × cos(-0.72421003) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.749023045465827 × 6371000     		do = 228.723197680367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60165603-0.60170396) × cos(-0.72424593) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.748999259655578 × 6371000     		du = 228.715934397064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72421003)-sin(-0.72424593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749023045465827-0.748999259655578)×R²
    abs(0.60170396-0.60165603)×2.37858102486443e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37858102486443e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37858102486443e-05×40589641000000     		ar = 52312.4875585903m²