Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78081 / 84210
↖ ↑ ↗
← S 45.556372°
E 34.455872°		 ← 213.82 m → S 45.556372°
E 34.458618°		 →
↑
213.87 m
↓
↑
213.87 m
↓
S 45.558295°
E 34.455872°		 ← 213.81 m →
45 729 m²		 S 45.558295°
E 34.458618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595714569091797 y=0.642475128173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595714569091797 × 217)
    floor (0.595714569091797 × 131072)
    floor (78081.5)     		tx = 78081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642475128173828 × 217)
    floor (0.642475128173828 × 131072)
    floor (84210.5)     		ty = 84210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78081 / 84210 ti = "17/78081/84210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78081/84210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78081 ÷ 217
    78081 ÷ 131072     		x = 0.595710754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84210 ÷ 217
    84210 ÷ 131072     		y = 0.642471313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595710754394531 × 2 - 1) × π
    0.191421508789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.60136841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642471313476562 × 2 - 1) × π
    -0.284942626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.895173663504929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60136841} λ = 0.60136841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895173663504929))-π/2
    2×atan(0.408536644574372)-π/2
    2×0.387843822379584-π/2
    0.775687644759167-1.57079632675     		φ = -0.79510868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60136841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.455872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79510868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.556372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78081 KachelY 84210 0.60136841 -0.79510868 34.455872 -45.556372
    Oben rechts KachelX + 1 78082 KachelY 84210 0.60141634 -0.79510868 34.458618 -45.556372
    Unten links KachelX 78081 KachelY + 1 84211 0.60136841 -0.79514225 34.455872 -45.558295
    Unten rechts KachelX + 1 78082 KachelY + 1 84211 0.60141634 -0.79514225 34.458618 -45.558295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79510868--0.79514225) × R
    3.35700000000383e-05 × 6371000     		dl = 213.874470000244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79510868--0.79514225) × R
    3.35700000000383e-05 × 6371000     		dr = 213.874470000244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60136841-0.60141634) × cos(-0.79510868) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.700207179208956 × 6371000     		do = 213.816685663952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60136841-0.60141634) × cos(-0.79514225) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.700183211858427 × 6371000     		du = 213.80936694514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79510868)-sin(-0.79514225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700207179208956-0.700183211858427)×R²
    abs(0.60141634-0.60136841)×2.39673505293414e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39673505293414e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39673505293414e-05×40589641000000     		ar = 45729.1476844279m²