Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7808 / 4363
↖ ↑ ↗
← N 64.062590°
W  8.437500°		 ← 1 068.66 m → N 64.062590°
W  8.415527°		 →
↑
1 068.80 m
↓
↑
1 068.80 m
↓
N 64.052978°
W  8.437500°		 ← 1 069.03 m →
1 142 383 m²		 N 64.052978°
W  8.415527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476593017578125 y=0.266326904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476593017578125 × 214)
    floor (0.476593017578125 × 16384)
    floor (7808.5)     		tx = 7808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266326904296875 × 214)
    floor (0.266326904296875 × 16384)
    floor (4363.5)     		ty = 4363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7808 / 4363 ti = "14/7808/4363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7808/4363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7808 ÷ 214
    7808 ÷ 16384     		x = 0.4765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4363 ÷ 214
    4363 ÷ 16384     		y = 0.26629638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4765625 × 2 - 1) × π
    -0.046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26629638671875 × 2 - 1) × π
    0.4674072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.46840310916156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14726216} λ = -0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46840310916156))-π/2
    2×atan(4.34229542976718)-π/2
    2×1.3444497303737-π/2
    2.6888994607474-1.57079632675     		φ = 1.11810313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11810313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.062590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7808 KachelY 4363 -0.14726216 1.11810313 -8.437500 64.062590
    Oben rechts KachelX + 1 7809 KachelY 4363 -0.14687866 1.11810313 -8.415527 64.062590
    Unten links KachelX 7808 KachelY + 1 4364 -0.14726216 1.11793537 -8.437500 64.052978
    Unten rechts KachelX + 1 7809 KachelY + 1 4364 -0.14687866 1.11793537 -8.415527 64.052978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11810313-1.11793537) × R
    0.00016775999999985 × 6371000     		dl = 1068.79895999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11810313-1.11793537) × R
    0.00016775999999985 × 6371000     		dr = 1068.79895999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14726216--0.14687866) × cos(1.11810313) × R
    0.000383500000000009 × 0.437389034960865 × 6371000     		do = 1068.66322525565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14726216--0.14687866) × cos(1.11793537) × R
    0.000383500000000009 × 0.437539890741556 × 6371000     		du = 1069.03180794122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11810313)-sin(1.11793537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437389034960865-0.437539890741556)×R²
    abs(-0.14687866--0.14726216)×0.000150855780690962×R²
    0.000383500000000009×0.000150855780690962×6371000²
    0.000383500000000009×0.000150855780690962×40589641000000     		ar = 1142383.1168175m²