Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7807 / 9601
↖ ↑ ↗
← S 29.554345°
W  8.459473°		 ← 2 125.32 m → S 29.554345°
W  8.437500°		 →
↑
2 125.17 m
↓
↑
2 125.17 m
↓
S 29.573457°
W  8.459473°		 ← 2 124.92 m →
4 516 257 m²		 S 29.573457°
W  8.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476531982421875 y=0.586029052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476531982421875 × 214)
    floor (0.476531982421875 × 16384)
    floor (7807.5)     		tx = 7807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586029052734375 × 214)
    floor (0.586029052734375 × 16384)
    floor (9601.5)     		ty = 9601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7807 / 9601 ti = "14/7807/9601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7807/9601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7807 ÷ 214
    7807 ÷ 16384     		x = 0.47650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9601 ÷ 214
    9601 ÷ 16384     		y = 0.58599853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47650146484375 × 2 - 1) × π
    -0.0469970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14764565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58599853515625 × 2 - 1) × π
    -0.1719970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.540344732517273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14764565} λ = -0.14764565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.540344732517273))-π/2
    2×atan(0.582547394725083)-π/2
    2×0.527487848046643-π/2
    1.05497569609329-1.57079632675     		φ = -0.51582063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14764565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.459473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51582063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.554345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7807 KachelY 9601 -0.14764565 -0.51582063 -8.459473 -29.554345
    Oben rechts KachelX + 1 7808 KachelY 9601 -0.14726216 -0.51582063 -8.437500 -29.554345
    Unten links KachelX 7807 KachelY + 1 9602 -0.14764565 -0.51615420 -8.459473 -29.573457
    Unten rechts KachelX + 1 7808 KachelY + 1 9602 -0.14726216 -0.51615420 -8.437500 -29.573457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51582063--0.51615420) × R
    0.000333570000000005 × 6371000     		dl = 2125.17447000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51582063--0.51615420) × R
    0.000333570000000005 × 6371000     		dr = 2125.17447000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14764565--0.14726216) × cos(-0.51582063) × R
    0.000383489999999986 × 0.869888240428104 × 6371000     		do = 2125.32381466094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14764565--0.14726216) × cos(-0.51615420) × R
    0.000383489999999986 × 0.86972365900934 × 6371000     		du = 2124.92170690446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51582063)-sin(-0.51615420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869888240428104-0.86972365900934)×R²
    abs(-0.14726216--0.14764565)×0.000164581418763854×R²
    0.000383489999999986×0.000164581418763854×6371000²
    0.000383489999999986×0.000164581418763854×40589641000000     		ar = 4516256.67870782m²