Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7807 / 4927
↖ ↑ ↗
← N 58.089493°
W  8.459473°		 ← 1 291.47 m → N 58.089493°
W  8.437500°		 →
↑
1 291.72 m
↓
↑
1 291.72 m
↓
N 58.077876°
W  8.459473°		 ← 1 291.89 m →
1 668 488 m²		 N 58.077876°
W  8.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476531982421875 y=0.300750732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476531982421875 × 214)
    floor (0.476531982421875 × 16384)
    floor (7807.5)     		tx = 7807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300750732421875 × 214)
    floor (0.300750732421875 × 16384)
    floor (4927.5)     		ty = 4927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7807 / 4927 ti = "14/7807/4927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7807/4927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7807 ÷ 214
    7807 ÷ 16384     		x = 0.47650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4927 ÷ 214
    4927 ÷ 16384     		y = 0.30072021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47650146484375 × 2 - 1) × π
    -0.0469970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14764565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30072021484375 × 2 - 1) × π
    0.3985595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25211181807587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14764565} λ = -0.14764565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25211181807587))-π/2
    2×atan(3.49772171536524)-π/2
    2×1.29232461823999-π/2
    2.58464923647999-1.57079632675     		φ = 1.01385291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14764565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.459473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01385291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.089493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7807 KachelY 4927 -0.14764565 1.01385291 -8.459473 58.089493
    Oben rechts KachelX + 1 7808 KachelY 4927 -0.14726216 1.01385291 -8.437500 58.089493
    Unten links KachelX 7807 KachelY + 1 4928 -0.14764565 1.01365016 -8.459473 58.077876
    Unten rechts KachelX + 1 7808 KachelY + 1 4928 -0.14726216 1.01365016 -8.437500 58.077876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01385291-1.01365016) × R
    0.000202749999999918 × 6371000     		dl = 1291.72024999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01385291-1.01365016) × R
    0.000202749999999918 × 6371000     		dr = 1291.72024999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14764565--0.14726216) × cos(1.01385291) × R
    0.000383489999999986 × 0.528594014855644 × 6371000     		do = 1291.46871500074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14764565--0.14726216) × cos(1.01365016) × R
    0.000383489999999986 × 0.528766113348559 × 6371000     		du = 1291.88918858397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01385291)-sin(1.01365016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528594014855644-0.528766113348559)×R²
    abs(-0.14726216--0.14764565)×0.000172098492914996×R²
    0.000383489999999986×0.000172098492914996×6371000²
    0.000383489999999986×0.000172098492914996×40589641000000     		ar = 1668487.86424451m²