Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7807 / 3479
↖ ↑ ↗
← N 71.364090°
W  8.459473°		 ← 780.74 m → N 71.364090°
W  8.437500°		 →
↑
780.89 m
↓
↑
780.89 m
↓
N 71.357067°
W  8.459473°		 ← 781.02 m →
609 783 m²		 N 71.357067°
W  8.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476531982421875 y=0.212371826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476531982421875 × 214)
    floor (0.476531982421875 × 16384)
    floor (7807.5)     		tx = 7807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212371826171875 × 214)
    floor (0.212371826171875 × 16384)
    floor (3479.5)     		ty = 3479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7807 / 3479 ti = "14/7807/3479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7807/3479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7807 ÷ 214
    7807 ÷ 16384     		x = 0.47650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3479 ÷ 214
    3479 ÷ 16384     		y = 0.21234130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47650146484375 × 2 - 1) × π
    -0.0469970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14764565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21234130859375 × 2 - 1) × π
    0.5753173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8074128632746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14764565} λ = -0.14764565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8074128632746))-π/2
    2×atan(6.09465930110317)-π/2
    2×1.4081673260235-π/2
    2.81633465204699-1.57079632675     		φ = 1.24553833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14764565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.459473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24553833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.364090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7807 KachelY 3479 -0.14764565 1.24553833 -8.459473 71.364090
    Oben rechts KachelX + 1 7808 KachelY 3479 -0.14726216 1.24553833 -8.437500 71.364090
    Unten links KachelX 7807 KachelY + 1 3480 -0.14764565 1.24541576 -8.459473 71.357067
    Unten rechts KachelX + 1 7808 KachelY + 1 3480 -0.14726216 1.24541576 -8.437500 71.357067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24553833-1.24541576) × R
    0.000122570000000044 × 6371000     		dl = 780.893470000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24553833-1.24541576) × R
    0.000122570000000044 × 6371000     		dr = 780.893470000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14764565--0.14726216) × cos(1.24553833) × R
    0.000383489999999986 × 0.319553266077414 × 6371000     		do = 780.737265873116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14764565--0.14726216) × cos(1.24541576) × R
    0.000383489999999986 × 0.31966940712501 × 6371000     		du = 781.021023398328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24553833)-sin(1.24541576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319553266077414-0.31966940712501)×R²
    abs(-0.14726216--0.14764565)×0.000116141047595775×R²
    0.000383489999999986×0.000116141047595775×6371000²
    0.000383489999999986×0.000116141047595775×40589641000000     		ar = 609783.425669842m²