Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78060 / 58913
↖ ↑ ↗
← N 17.892501°
E 34.398193°		 ← 290.65 m → N 17.892501°
E 34.400940°		 →
↑
290.65 m
↓
↑
290.65 m
↓
N 17.889887°
E 34.398193°		 ← 290.66 m →
84 478 m²		 N 17.889887°
E 34.400940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595554351806641 y=0.449474334716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595554351806641 × 217)
    floor (0.595554351806641 × 131072)
    floor (78060.5)     		tx = 78060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449474334716797 × 217)
    floor (0.449474334716797 × 131072)
    floor (58913.5)     		ty = 58913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78060 / 58913 ti = "17/78060/58913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78060/58913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78060 ÷ 217
    78060 ÷ 131072     		x = 0.595550537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58913 ÷ 217
    58913 ÷ 131072     		y = 0.449470520019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595550537109375 × 2 - 1) × π
    0.19110107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.60036173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449470520019531 × 2 - 1) × π
    0.101058959960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.317486086183632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60036173} λ = 0.60036173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.317486086183632))-π/2
    2×atan(1.37367013173842)-π/2
    2×0.94153968666492-π/2
    1.88307937332984-1.57079632675     		φ = 0.31228305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60036173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.398193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31228305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.892501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78060 KachelY 58913 0.60036173 0.31228305 34.398193 17.892501
    Oben rechts KachelX + 1 78061 KachelY 58913 0.60040967 0.31228305 34.400940 17.892501
    Unten links KachelX 78060 KachelY + 1 58914 0.60036173 0.31223743 34.398193 17.889887
    Unten rechts KachelX + 1 78061 KachelY + 1 58914 0.60040967 0.31223743 34.400940 17.889887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31228305-0.31223743) × R
    4.5620000000024e-05 × 6371000     		dl = 290.645020000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31228305-0.31223743) × R
    4.5620000000024e-05 × 6371000     		dr = 290.645020000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60036173-0.60040967) × cos(0.31228305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951634624439519 × 6371000     		do = 290.653709378872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60036173-0.60040967) × cos(0.31223743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951648639376041 × 6371000     		du = 290.65798990123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31228305)-sin(0.31223743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951634624439519-0.951648639376041)×R²
    abs(0.60040967-0.60036173)×1.40149365223108e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40149365223108e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40149365223108e-05×40589641000000     		ar = 84477.6752464214m²