Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7806 / 8302
↖ ↑ ↗
← N 79.057223°
W137.120362°		 ← 115.96 m → N 79.057223°
W137.114868°		 →
↑
115.95 m
↓
↑
115.95 m
↓
N 79.056180°
W137.120362°		 ← 115.97 m →
13 446 m²		 N 79.056180°
W137.114868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119117736816406 y=0.126686096191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119117736816406 × 216)
    floor (0.119117736816406 × 65536)
    floor (7806.5)     		tx = 7806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126686096191406 × 216)
    floor (0.126686096191406 × 65536)
    floor (8302.5)     		ty = 8302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7806 / 8302 ti = "16/7806/8302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7806/8302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7806 ÷ 216
    7806 ÷ 65536     		x = 0.119110107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8302 ÷ 216
    8302 ÷ 65536     		y = 0.126678466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119110107421875 × 2 - 1) × π
    -0.76177978515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.39320178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126678466796875 × 2 - 1) × π
    0.74664306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34564837220859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39320178} λ = -2.39320178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34564837220859))-π/2
    2×atan(10.4400395651077)-π/2
    2×1.47530258281121-π/2
    2.95060516562243-1.57079632675     		φ = 1.37980884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39320178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.120362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37980884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.057223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7806 KachelY 8302 -2.39320178 1.37980884 -137.120362 79.057223
    Oben rechts KachelX + 1 7807 KachelY 8302 -2.39310590 1.37980884 -137.114868 79.057223
    Unten links KachelX 7806 KachelY + 1 8303 -2.39320178 1.37979064 -137.120362 79.056180
    Unten rechts KachelX + 1 7807 KachelY + 1 8303 -2.39310590 1.37979064 -137.114868 79.056180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37980884-1.37979064) × R
    1.81999999999682e-05 × 6371000     		dl = 115.952199999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37980884-1.37979064) × R
    1.81999999999682e-05 × 6371000     		dr = 115.952199999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39320178--2.39310590) × cos(1.37980884) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.189828518952616 × 6371000     		do = 115.957031748337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39320178--2.39310590) × cos(1.37979064) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.18984638799532 × 6371000     		du = 115.967947079519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37980884)-sin(1.37979064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189828518952616-0.18984638799532)×R²
    abs(-2.39310590--2.39320178)×1.78690427041772e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.78690427041772e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.78690427041772e-05×40589641000000     		ar = 13446.1057654372m²