Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7806 / 3902
↖ ↑ ↗
← N 68.155209°
W  8.481446°		 ← 909.13 m → N 68.155209°
W  8.459473°		 →
↑
909.27 m
↓
↑
909.27 m
↓
N 68.147032°
W  8.481446°		 ← 909.45 m →
826 789 m²		 N 68.147032°
W  8.459473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476470947265625 y=0.238189697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476470947265625 × 214)
    floor (0.476470947265625 × 16384)
    floor (7806.5)     		tx = 7806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238189697265625 × 214)
    floor (0.238189697265625 × 16384)
    floor (3902.5)     		ty = 3902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7806 / 3902 ti = "14/7806/3902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7806/3902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7806 ÷ 214
    7806 ÷ 16384     		x = 0.4764404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3902 ÷ 214
    3902 ÷ 16384     		y = 0.2381591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4764404296875 × 2 - 1) × π
    -0.047119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14802915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2381591796875 × 2 - 1) × π
    0.523681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.64519439496033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14802915} λ = -0.14802915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64519439496033))-π/2
    2×atan(5.18201716706379)-π/2
    2×1.38016456519041-π/2
    2.76032913038081-1.57079632675     		φ = 1.18953280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14802915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.481446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18953280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.155209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7806 KachelY 3902 -0.14802915 1.18953280 -8.481446 68.155209
    Oben rechts KachelX + 1 7807 KachelY 3902 -0.14764565 1.18953280 -8.459473 68.155209
    Unten links KachelX 7806 KachelY + 1 3903 -0.14802915 1.18939008 -8.481446 68.147032
    Unten rechts KachelX + 1 7807 KachelY + 1 3903 -0.14764565 1.18939008 -8.459473 68.147032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18953280-1.18939008) × R
    0.000142720000000152 × 6371000     		dl = 909.269120000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18953280-1.18939008) × R
    0.000142720000000152 × 6371000     		dr = 909.269120000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14802915--0.14764565) × cos(1.18953280) × R
    0.000383500000000009 × 0.372093565664068 × 6371000     		do = 909.128208975377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14802915--0.14764565) × cos(1.18939008) × R
    0.000383500000000009 × 0.37222603389675 × 6371000     		du = 909.451865760221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18953280)-sin(1.18939008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372093565664068-0.37222603389675)×R²
    abs(-0.14764565--0.14802915)×0.000132468232681704×R²
    0.000383500000000009×0.000132468232681704×6371000²
    0.000383500000000009×0.000132468232681704×40589641000000     		ar = 826789.353506392m²