Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78059 / 58924
↖ ↑ ↗
← N 17.863747°
E 34.395447°		 ← 290.70 m → N 17.863747°
E 34.398193°		 →
↑
290.65 m
↓
↑
290.65 m
↓
N 17.861133°
E 34.395447°		 ← 290.71 m →
84 491 m²		 N 17.861133°
E 34.398193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595546722412109 y=0.449558258056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595546722412109 × 217)
    floor (0.595546722412109 × 131072)
    floor (78059.5)     		tx = 78059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449558258056641 × 217)
    floor (0.449558258056641 × 131072)
    floor (58924.5)     		ty = 58924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78059 / 58924 ti = "17/78059/58924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78059/58924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78059 ÷ 217
    78059 ÷ 131072     		x = 0.595542907714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58924 ÷ 217
    58924 ÷ 131072     		y = 0.449554443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595542907714844 × 2 - 1) × π
    0.191085815429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.60031379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449554443359375 × 2 - 1) × π
    0.10089111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.316958780287811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60031379} λ = 0.60031379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.316958780287811))-π/2
    2×atan(1.372945978321)-π/2
    2×0.941288765076341-π/2
    1.88257753015268-1.57079632675     		φ = 0.31178120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60031379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.395447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31178120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.863747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78059 KachelY 58924 0.60031379 0.31178120 34.395447 17.863747
    Oben rechts KachelX + 1 78060 KachelY 58924 0.60036173 0.31178120 34.398193 17.863747
    Unten links KachelX 78059 KachelY + 1 58925 0.60031379 0.31173558 34.395447 17.861133
    Unten rechts KachelX + 1 78060 KachelY + 1 58925 0.60036173 0.31173558 34.398193 17.861133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31178120-0.31173558) × R
    4.56199999999685e-05 × 6371000     		dl = 290.645019999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31178120-0.31173558) × R
    4.56199999999685e-05 × 6371000     		dr = 290.645019999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60031379-0.60036173) × cos(0.31178120) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.951788689008491 × 6371000     		do = 290.700764664531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60031379-0.60036173) × cos(0.31173558) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.951802682155988 × 6371000     		du = 290.70503853196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31178120)-sin(0.31173558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951788689008491-0.951802682155988)×R²
    abs(0.60036173-0.60031379)×1.399314749706e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.399314749706e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.399314749706e-05×40589641000000     		ar = 84491.3506636421m²