Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78058 / 58921
↖ ↑ ↗
← N 17.871590°
E 34.392700°		 ← 290.63 m → N 17.871590°
E 34.395447°		 →
↑
290.71 m
↓
↑
290.71 m
↓
N 17.868975°
E 34.392700°		 ← 290.63 m →
84 489 m²		 N 17.868975°
E 34.395447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595539093017578 y=0.449535369873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595539093017578 × 217)
    floor (0.595539093017578 × 131072)
    floor (78058.5)     		tx = 78058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449535369873047 × 217)
    floor (0.449535369873047 × 131072)
    floor (58921.5)     		ty = 58921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78058 / 58921 ti = "17/78058/58921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78058/58921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78058 ÷ 217
    78058 ÷ 131072     		x = 0.595535278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58921 ÷ 217
    58921 ÷ 131072     		y = 0.449531555175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595535278320312 × 2 - 1) × π
    0.191070556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.60026586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449531555175781 × 2 - 1) × π
    0.100936889648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.317102590986671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60026586} λ = 0.60026586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.317102590986671))-π/2
    2×atan(1.37314343683963)-π/2
    2×0.94135720226477-π/2
    1.88271440452954-1.57079632675     		φ = 0.31191808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60026586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.392700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31191808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.871590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78058 KachelY 58921 0.60026586 0.31191808 34.392700 17.871590
    Oben rechts KachelX + 1 78059 KachelY 58921 0.60031379 0.31191808 34.395447 17.871590
    Unten links KachelX 78058 KachelY + 1 58922 0.60026586 0.31187245 34.392700 17.868975
    Unten rechts KachelX + 1 78059 KachelY + 1 58922 0.60031379 0.31187245 34.395447 17.868975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31191808-0.31187245) × R
    4.56299999999632e-05 × 6371000     		dl = 290.708729999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31191808-0.31187245) × R
    4.56299999999632e-05 × 6371000     		dr = 290.708729999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60026586-0.60031379) × cos(0.31191808) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.951746691543335 × 6371000     		do = 290.627301774961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60026586-0.60031379) × cos(0.31187245) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.95176069370257 × 6371000     		du = 290.63157750273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31191808)-sin(0.31187245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951746691543335-0.95176069370257)×R²
    abs(0.60031379-0.60026586)×1.40021592344164e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.40021592344164e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.40021592344164e-05×40589641000000     		ar = 84488.5153125714m²