Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78044 / 58971
↖ ↑ ↗
← N 17.740839°
E 34.354248°		 ← 290.90 m → N 17.740839°
E 34.356995°		 →
↑
290.90 m
↓
↑
290.90 m
↓
N 17.738223°
E 34.354248°		 ← 290.91 m →
84 624 m²		 N 17.738223°
E 34.356995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595432281494141 y=0.449916839599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595432281494141 × 217)
    floor (0.595432281494141 × 131072)
    floor (78044.5)     		tx = 78044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449916839599609 × 217)
    floor (0.449916839599609 × 131072)
    floor (58971.5)     		ty = 58971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78044 / 58971 ti = "17/78044/58971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78044/58971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78044 ÷ 217
    78044 ÷ 131072     		x = 0.595428466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58971 ÷ 217
    58971 ÷ 131072     		y = 0.449913024902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595428466796875 × 2 - 1) × π
    0.19085693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59959474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449913024902344 × 2 - 1) × π
    0.100173950195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.314705746005669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59959474} λ = 0.59959474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.314705746005669))-π/2
    2×atan(1.36985616599789)-π/2
    2×0.940216189025704-π/2
    1.88043237805141-1.57079632675     		φ = 0.30963605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59959474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.354248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30963605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.740839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78044 KachelY 58971 0.59959474 0.30963605 34.354248 17.740839
    Oben rechts KachelX + 1 78045 KachelY 58971 0.59964268 0.30963605 34.356995 17.740839
    Unten links KachelX 78044 KachelY + 1 58972 0.59959474 0.30959039 34.354248 17.738223
    Unten rechts KachelX + 1 78045 KachelY + 1 58972 0.59964268 0.30959039 34.356995 17.738223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30963605-0.30959039) × R
    4.56600000000029e-05 × 6371000     		dl = 290.899860000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30963605-0.30959039) × R
    4.56600000000029e-05 × 6371000     		dr = 290.899860000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59959474-0.59964268) × cos(0.30963605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952444532901134 × 6371000     		do = 290.901076270092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59959474-0.59964268) × cos(0.30959039) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952458445058863 × 6371000     		du = 290.905325401162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30963605)-sin(0.30959039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952444532901134-0.952458445058863)×R²
    abs(0.59964268-0.59959474)×1.3912157729612e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3912157729612e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3912157729612e-05×40589641000000     		ar = 84623.7004113639m²