Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78042 / 59071
↖ ↑ ↗
← N 17.479052°
E 34.348755°		 ← 291.26 m → N 17.479052°
E 34.351501°		 →
↑
291.35 m
↓
↑
291.35 m
↓
N 17.476432°
E 34.348755°		 ← 291.27 m →
84 859 m²		 N 17.476432°
E 34.351501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595417022705078 y=0.450679779052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595417022705078 × 217)
    floor (0.595417022705078 × 131072)
    floor (78042.5)     		tx = 78042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450679779052734 × 217)
    floor (0.450679779052734 × 131072)
    floor (59071.5)     		ty = 59071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78042 / 59071 ti = "17/78042/59071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78042/59071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78042 ÷ 217
    78042 ÷ 131072     		x = 0.595413208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59071 ÷ 217
    59071 ÷ 131072     		y = 0.450675964355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595413208007812 × 2 - 1) × π
    0.190826416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59949887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450675964355469 × 2 - 1) × π
    0.0986480712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.309912056043663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59949887} λ = 0.59949887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.309912056043663))-π/2
    2×atan(1.36330521440578)-π/2
    2×0.937931666979575-π/2
    1.87586333395915-1.57079632675     		φ = 0.30506701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59949887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.348755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30506701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.479052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78042 KachelY 59071 0.59949887 0.30506701 34.348755 17.479052
    Oben rechts KachelX + 1 78043 KachelY 59071 0.59954680 0.30506701 34.351501 17.479052
    Unten links KachelX 78042 KachelY + 1 59072 0.59949887 0.30502128 34.348755 17.476432
    Unten rechts KachelX + 1 78043 KachelY + 1 59072 0.59954680 0.30502128 34.351501 17.476432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30506701-0.30502128) × R
    4.57300000000216e-05 × 6371000     		dl = 291.345830000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30506701-0.30502128) × R
    4.57300000000216e-05 × 6371000     		dr = 291.345830000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59949887-0.59954680) × cos(0.30506701) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.953826827780523 × 6371000     		do = 291.262496399699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59949887-0.59954680) × cos(0.30502128) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.95384056211299 × 6371000     		du = 291.266690343342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30506701)-sin(0.30502128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953826827780523-0.95384056211299)×R²
    abs(0.59954680-0.59949887)×1.37343324670969e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.37343324670969e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.37343324670969e-05×40589641000000     		ar = 84858.7247202366m²