Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78031 / 58443
↖ ↑ ↗
← N 19.116625°
E 34.318542°		 ← 288.58 m → N 19.116625°
E 34.321289°		 →
↑
288.61 m
↓
↑
288.61 m
↓
N 19.114029°
E 34.318542°		 ← 288.59 m →
83 287 m²		 N 19.114029°
E 34.321289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595333099365234 y=0.445888519287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595333099365234 × 217)
    floor (0.595333099365234 × 131072)
    floor (78031.5)     		tx = 78031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445888519287109 × 217)
    floor (0.445888519287109 × 131072)
    floor (58443.5)     		ty = 58443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78031 / 58443 ti = "17/78031/58443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78031/58443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78031 ÷ 217
    78031 ÷ 131072     		x = 0.595329284667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58443 ÷ 217
    58443 ÷ 131072     		y = 0.445884704589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595329284667969 × 2 - 1) × π
    0.190658569335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.59897156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445884704589844 × 2 - 1) × π
    0.108230590820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.340016429005058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59897156} λ = 0.59897156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340016429005058))-π/2
    2×atan(1.40497067264427)-π/2
    2×0.952222181823337-π/2
    1.90444436364667-1.57079632675     		φ = 0.33364804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59897156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.318542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33364804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.116625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78031 KachelY 58443 0.59897156 0.33364804 34.318542 19.116625
    Oben rechts KachelX + 1 78032 KachelY 58443 0.59901950 0.33364804 34.321289 19.116625
    Unten links KachelX 78031 KachelY + 1 58444 0.59897156 0.33360274 34.318542 19.114029
    Unten rechts KachelX + 1 78032 KachelY + 1 58444 0.59901950 0.33360274 34.321289 19.114029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33364804-0.33360274) × R
    4.52999999999704e-05 × 6371000     		dl = 288.606299999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33364804-0.33360274) × R
    4.52999999999704e-05 × 6371000     		dr = 288.606299999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59897156-0.59901950) × cos(0.33364804) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.944853929169655 × 6371000     		do = 288.582710509029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59897156-0.59901950) × cos(0.33360274) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.944868763590724 × 6371000     		du = 288.587241323061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33364804)-sin(0.33360274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944853929169655-0.944868763590724)×R²
    abs(0.59901950-0.59897156)×1.48344210694207e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.48344210694207e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.48344210694207e-05×40589641000000     		ar = 83287.442148826m²