Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78031 / 57387
↖ ↑ ↗
← N 21.833456°
E 34.318542°		 ← 283.52 m → N 21.833456°
E 34.321289°		 →
↑
283.51 m
↓
↑
283.51 m
↓
N 21.830907°
E 34.318542°		 ← 283.52 m →
80 381 m²		 N 21.830907°
E 34.321289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595333099365234 y=0.437831878662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595333099365234 × 217)
    floor (0.595333099365234 × 131072)
    floor (78031.5)     		tx = 78031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437831878662109 × 217)
    floor (0.437831878662109 × 131072)
    floor (57387.5)     		ty = 57387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78031 / 57387 ti = "17/78031/57387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78031/57387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78031 ÷ 217
    78031 ÷ 131072     		x = 0.595329284667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57387 ÷ 217
    57387 ÷ 131072     		y = 0.437828063964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595329284667969 × 2 - 1) × π
    0.190658569335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.59897156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437828063964844 × 2 - 1) × π
    0.124343872070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.390637795003838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59897156} λ = 0.59897156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.390637795003838))-π/2
    2×atan(1.47792310532257)-π/2
    2×0.975931012755707-π/2
    1.95186202551141-1.57079632675     		φ = 0.38106570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59897156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.318542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38106570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.833456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78031 KachelY 57387 0.59897156 0.38106570 34.318542 21.833456
    Oben rechts KachelX + 1 78032 KachelY 57387 0.59901950 0.38106570 34.321289 21.833456
    Unten links KachelX 78031 KachelY + 1 57388 0.59897156 0.38102120 34.318542 21.830907
    Unten rechts KachelX + 1 78032 KachelY + 1 57388 0.59901950 0.38102120 34.321289 21.830907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38106570-0.38102120) × R
    4.45000000000029e-05 × 6371000     		dl = 283.509500000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38106570-0.38102120) × R
    4.45000000000029e-05 × 6371000     		dr = 283.509500000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59897156-0.59901950) × cos(0.38106570) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.928268818357259 × 6371000     		do = 283.517190766162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59897156-0.59901950) × cos(0.38102120) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.928285367430326 × 6371000     		du = 283.52224527905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38106570)-sin(0.38102120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928268818357259-0.928285367430326)×R²
    abs(0.59901950-0.59897156)×1.65490730664741e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.65490730664741e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.65490730664741e-05×40589641000000     		ar = 80380.5335099899m²