Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 7803 / 8631
↖ ↑ ↗
← N 78.708790°
W137.136841°		 ← 119.60 m → N 78.708790°
W137.131347°		 →
↑
119.58 m
↓
↑
119.58 m
↓
N 78.707714°
W137.136841°		 ← 119.61 m →
14 303 m²		 N 78.707714°
W137.131347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119071960449219 y=0.131706237792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119071960449219 × 216)
    floor (0.119071960449219 × 65536)
    floor (7803.5)     		tx = 7803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131706237792969 × 216)
    floor (0.131706237792969 × 65536)
    floor (8631.5)     		ty = 8631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7803 / 8631 ti = "16/7803/8631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7803/8631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7803 ÷ 216
    7803 ÷ 65536     		x = 0.119064331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8631 ÷ 216
    8631 ÷ 65536     		y = 0.131698608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119064331054688 × 2 - 1) × π
    -0.761871337890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.39348940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131698608398438 × 2 - 1) × π
    0.736602783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31410589225859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39348940} λ = -2.39348940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31410589225859))-π/2
    2×atan(10.1158741926513)-π/2
    2×1.47226193007837-π/2
    2.94452386015673-1.57079632675     		φ = 1.37372753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39348940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.136841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37372753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.708790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7803 KachelY 8631 -2.39348940 1.37372753 -137.136841 78.708790
    Oben rechts KachelX + 1 7804 KachelY 8631 -2.39339352 1.37372753 -137.131347 78.708790
    Unten links KachelX 7803 KachelY + 1 8632 -2.39348940 1.37370876 -137.136841 78.707714
    Unten rechts KachelX + 1 7804 KachelY + 1 8632 -2.39339352 1.37370876 -137.131347 78.707714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37372753-1.37370876) × R
    1.87700000000568e-05 × 6371000     		dl = 119.583670000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37372753-1.37370876) × R
    1.87700000000568e-05 × 6371000     		dr = 119.583670000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39348940--2.39339352) × cos(1.37372753) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.195795707136578 × 6371000     		do = 119.602097481947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39348940--2.39339352) × cos(1.37370876) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.195814113803233 × 6371000     		du = 119.613341221515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37372753)-sin(1.37370876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195795707136578-0.195814113803233)×R²
    abs(-2.39339352--2.39348940)×1.84066666558125e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.84066666558125e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.84066666558125e-05×40589641000000     		ar = 14303.1300406336m²