Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7803 / 3230
↖ ↑ ↗
← N 73.035419°
W  8.547363°		 ← 712.88 m → N 73.035419°
W  8.525391°		 →
↑
713.04 m
↓
↑
713.04 m
↓
N 73.029006°
W  8.547363°		 ← 713.14 m →
508 409 m²		 N 73.029006°
W  8.525391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476287841796875 y=0.197174072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476287841796875 × 214)
    floor (0.476287841796875 × 16384)
    floor (7803.5)     		tx = 7803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197174072265625 × 214)
    floor (0.197174072265625 × 16384)
    floor (3230.5)     		ty = 3230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7803 / 3230 ti = "14/7803/3230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7803/3230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7803 ÷ 214
    7803 ÷ 16384     		x = 0.47625732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3230 ÷ 214
    3230 ÷ 16384     		y = 0.1971435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47625732421875 × 2 - 1) × π
    -0.0474853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14917963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1971435546875 × 2 - 1) × π
    0.605712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.90290316731775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14917963} λ = -0.14917963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90290316731775))-π/2
    2×atan(6.70533291543109)-π/2
    2×1.42275242648935-π/2
    2.84550485297871-1.57079632675     		φ = 1.27470853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14917963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.547363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27470853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.035419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7803 KachelY 3230 -0.14917963 1.27470853 -8.547363 73.035419
    Oben rechts KachelX + 1 7804 KachelY 3230 -0.14879614 1.27470853 -8.525391 73.035419
    Unten links KachelX 7803 KachelY + 1 3231 -0.14917963 1.27459661 -8.547363 73.029006
    Unten rechts KachelX + 1 7804 KachelY + 1 3231 -0.14879614 1.27459661 -8.525391 73.029006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27470853-1.27459661) × R
    0.000111920000000154 × 6371000     		dl = 713.042320000982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27470853-1.27459661) × R
    0.000111920000000154 × 6371000     		dr = 713.042320000982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14917963--0.14879614) × cos(1.27470853) × R
    0.000383490000000014 × 0.291780484205658 × 6371000     		do = 712.882394444652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14917963--0.14879614) × cos(1.27459661) × R
    0.000383490000000014 × 0.291887532213943 × 6371000     		du = 713.143935721732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27470853)-sin(1.27459661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291780484205658-0.291887532213943)×R²
    abs(-0.14879614--0.14917963)×0.000107048008284372×R²
    0.000383490000000014×0.000107048008284372×6371000²
    0.000383490000000014×0.000107048008284372×40589641000000     		ar = 508408.561952515m²