Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78028 / 57109
↖ ↑ ↗
← N 22.540464°
E 34.310303°		 ← 282.09 m → N 22.540464°
E 34.313049°		 →
↑
282.11 m
↓
↑
282.11 m
↓
N 22.537927°
E 34.310303°		 ← 282.10 m →
79 582 m²		 N 22.537927°
E 34.313049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595310211181641 y=0.435710906982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595310211181641 × 217)
    floor (0.595310211181641 × 131072)
    floor (78028.5)     		tx = 78028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435710906982422 × 217)
    floor (0.435710906982422 × 131072)
    floor (57109.5)     		ty = 57109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78028 / 57109 ti = "17/78028/57109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78028/57109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78028 ÷ 217
    78028 ÷ 131072     		x = 0.595306396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57109 ÷ 217
    57109 ÷ 131072     		y = 0.435707092285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595306396484375 × 2 - 1) × π
    0.19061279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59882775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435707092285156 × 2 - 1) × π
    0.128585815429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.403964253098213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59882775} λ = 0.59882775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.403964253098213))-π/2
    2×atan(1.49775040606452)-π/2
    2×0.982100821186445-π/2
    1.96420164237289-1.57079632675     		φ = 0.39340532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59882775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.310303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39340532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.540464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78028 KachelY 57109 0.59882775 0.39340532 34.310303 22.540464
    Oben rechts KachelX + 1 78029 KachelY 57109 0.59887569 0.39340532 34.313049 22.540464
    Unten links KachelX 78028 KachelY + 1 57110 0.59882775 0.39336104 34.310303 22.537927
    Unten rechts KachelX + 1 78029 KachelY + 1 57110 0.59887569 0.39336104 34.313049 22.537927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39340532-0.39336104) × R
    4.42800000000076e-05 × 6371000     		dl = 282.107880000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39340532-0.39336104) × R
    4.42800000000076e-05 × 6371000     		dr = 282.107880000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59882775-0.59887569) × cos(0.39340532) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.923609036433694 × 6371000     		do = 282.093973423263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59882775-0.59887569) × cos(0.39336104) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.923626009638151 × 6371000     		du = 282.099157476794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39340532)-sin(0.39336104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923609036433694-0.923626009638151)×R²
    abs(0.59887569-0.59882775)×1.69732044577042e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69732044577042e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69732044577042e-05×40589641000000     		ar = 79581.6640473383m²