Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78028 / 57107
↖ ↑ ↗
← N 22.545537°
E 34.310303°		 ← 282.08 m → N 22.545537°
E 34.313049°		 →
↑
282.04 m
↓
↑
282.04 m
↓
N 22.543001°
E 34.310303°		 ← 282.09 m →
79 561 m²		 N 22.543001°
E 34.313049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595310211181641 y=0.435695648193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595310211181641 × 217)
    floor (0.595310211181641 × 131072)
    floor (78028.5)     		tx = 78028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435695648193359 × 217)
    floor (0.435695648193359 × 131072)
    floor (57107.5)     		ty = 57107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78028 / 57107 ti = "17/78028/57107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78028/57107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78028 ÷ 217
    78028 ÷ 131072     		x = 0.595306396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57107 ÷ 217
    57107 ÷ 131072     		y = 0.435691833496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595306396484375 × 2 - 1) × π
    0.19061279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59882775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435691833496094 × 2 - 1) × π
    0.128616333007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.404060126897453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59882775} λ = 0.59882775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404060126897453))-π/2
    2×atan(1.49789400796998)-π/2
    2×0.982145095326552-π/2
    1.9642901906531-1.57079632675     		φ = 0.39349386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59882775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.310303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39349386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.545537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78028 KachelY 57107 0.59882775 0.39349386 34.310303 22.545537
    Oben rechts KachelX + 1 78029 KachelY 57107 0.59887569 0.39349386 34.313049 22.545537
    Unten links KachelX 78028 KachelY + 1 57108 0.59882775 0.39344959 34.310303 22.543001
    Unten rechts KachelX + 1 78029 KachelY + 1 57108 0.59887569 0.39344959 34.313049 22.543001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39349386-0.39344959) × R
    4.42699999999574e-05 × 6371000     		dl = 282.044169999729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39349386-0.39344959) × R
    4.42699999999574e-05 × 6371000     		dr = 282.044169999729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59882775-0.59887569) × cos(0.39349386) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.923575092260352 × 6371000     		do = 282.083605999001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59882775-0.59887569) × cos(0.39344959) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.923592065252066 × 6371000     		du = 282.088789987555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39349386)-sin(0.39344959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923575092260352-0.923592065252066)×R²
    abs(0.59887569-0.59882775)×1.69729917139927e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69729917139927e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69729917139927e-05×40589641000000     		ar = 79560.767594405m²