Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78027 / 57922
↖ ↑ ↗
← N 20.463043°
E 34.307556°		 ← 286.15 m → N 20.463043°
E 34.310303°		 →
↑
286.12 m
↓
↑
286.12 m
↓
N 20.460470°
E 34.307556°		 ← 286.16 m →
81 875 m²		 N 20.460470°
E 34.310303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595302581787109 y=0.441913604736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595302581787109 × 217)
    floor (0.595302581787109 × 131072)
    floor (78027.5)     		tx = 78027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441913604736328 × 217)
    floor (0.441913604736328 × 131072)
    floor (57922.5)     		ty = 57922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78027 / 57922 ti = "17/78027/57922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78027/57922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78027 ÷ 217
    78027 ÷ 131072     		x = 0.595298767089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57922 ÷ 217
    57922 ÷ 131072     		y = 0.441909790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595298767089844 × 2 - 1) × π
    0.190597534179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.59877981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441909790039062 × 2 - 1) × π
    0.116180419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.364991553707108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59877981} λ = 0.59877981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364991553707108))-π/2
    2×atan(1.44050184119737)-π/2
    2×0.963971899093476-π/2
    1.92794379818695-1.57079632675     		φ = 0.35714747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59877981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.307556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35714747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.463043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78027 KachelY 57922 0.59877981 0.35714747 34.307556 20.463043
    Oben rechts KachelX + 1 78028 KachelY 57922 0.59882775 0.35714747 34.310303 20.463043
    Unten links KachelX 78027 KachelY + 1 57923 0.59877981 0.35710256 34.307556 20.460470
    Unten rechts KachelX + 1 78028 KachelY + 1 57923 0.59882775 0.35710256 34.310303 20.460470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35714747-0.35710256) × R
    4.49100000000091e-05 × 6371000     		dl = 286.121610000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35714747-0.35710256) × R
    4.49100000000091e-05 × 6371000     		dr = 286.121610000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59877981-0.59882775) × cos(0.35714747) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936897887474144 × 6371000     		do = 286.15273058604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59877981-0.59882775) × cos(0.35710256) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936913587205885 × 6371000     		du = 286.157525688224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35714747)-sin(0.35710256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936897887474144-0.936913587205885)×R²
    abs(0.59882775-0.59877981)×1.56997317407592e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56997317407592e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56997317407592e-05×40589641000000     		ar = 81875.1659861577m²