Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78020 / 57532
↖ ↑ ↗
← N 21.463294°
E 34.288330°		 ← 284.25 m → N 21.463294°
E 34.291077°		 →
↑
284.21 m
↓
↑
284.21 m
↓
N 21.460738°
E 34.288330°		 ← 284.25 m →
80 786 m²		 N 21.460738°
E 34.291077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595249176025391 y=0.438938140869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595249176025391 × 217)
    floor (0.595249176025391 × 131072)
    floor (78020.5)     		tx = 78020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438938140869141 × 217)
    floor (0.438938140869141 × 131072)
    floor (57532.5)     		ty = 57532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78020 / 57532 ti = "17/78020/57532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78020/57532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78020 ÷ 217
    78020 ÷ 131072     		x = 0.595245361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57532 ÷ 217
    57532 ÷ 131072     		y = 0.438934326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595245361328125 × 2 - 1) × π
    0.19049072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59844425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438934326171875 × 2 - 1) × π
    0.12213134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.383686944558929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59844425} λ = 0.59844425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.383686944558929))-π/2
    2×atan(1.46768590269753)-π/2
    2×0.97270073283377-π/2
    1.94540146566754-1.57079632675     		φ = 0.37460514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59844425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.288330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37460514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.463294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78020 KachelY 57532 0.59844425 0.37460514 34.288330 21.463294
    Oben rechts KachelX + 1 78021 KachelY 57532 0.59849219 0.37460514 34.291077 21.463294
    Unten links KachelX 78020 KachelY + 1 57533 0.59844425 0.37456053 34.288330 21.460738
    Unten rechts KachelX + 1 78021 KachelY + 1 57533 0.59849219 0.37456053 34.291077 21.460738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37460514-0.37456053) × R
    4.46100000000005e-05 × 6371000     		dl = 284.210310000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37460514-0.37456053) × R
    4.46100000000005e-05 × 6371000     		dr = 284.210310000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59844425-0.59849219) × cos(0.37460514) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930652175739614 × 6371000     		do = 284.245129457695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59844425-0.59849219) × cos(0.37456053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930668497839218 × 6371000     		du = 284.250114647045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37460514)-sin(0.37456053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930652175739614-0.930668497839218)×R²
    abs(0.59849219-0.59844425)×1.63220996037827e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63220996037827e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63220996037827e-05×40589641000000     		ar = 80786.1047936095m²