Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7802 / 8630
↖ ↑ ↗
← N 78.709865°
W137.142334°		 ← 119.58 m → N 78.709865°
W137.136841°		 →
↑
119.58 m
↓
↑
119.58 m
↓
N 78.708790°
W137.142334°		 ← 119.59 m →
14 300 m²		 N 78.708790°
W137.136841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119056701660156 y=0.131690979003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119056701660156 × 216)
    floor (0.119056701660156 × 65536)
    floor (7802.5)     		tx = 7802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131690979003906 × 216)
    floor (0.131690979003906 × 65536)
    floor (8630.5)     		ty = 8630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7802 / 8630 ti = "16/7802/8630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7802/8630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7802 ÷ 216
    7802 ÷ 65536     		x = 0.119049072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8630 ÷ 216
    8630 ÷ 65536     		y = 0.131683349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.76190185546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.39358527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131683349609375 × 2 - 1) × π
    0.73663330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31420176605783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39358527} λ = -2.39358527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31420176605783))-π/2
    2×atan(10.1168440864358)-π/2
    2×1.47227131547616-π/2
    2.94454263095232-1.57079632675     		φ = 1.37374630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39358527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.142334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37374630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.709865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7802 KachelY 8630 -2.39358527 1.37374630 -137.142334 78.709865
    Oben rechts KachelX + 1 7803 KachelY 8630 -2.39348940 1.37374630 -137.136841 78.709865
    Unten links KachelX 7802 KachelY + 1 8631 -2.39358527 1.37372753 -137.142334 78.708790
    Unten rechts KachelX + 1 7803 KachelY + 1 8631 -2.39348940 1.37372753 -137.136841 78.708790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37374630-1.37372753) × R
    1.87700000000568e-05 × 6371000     		dl = 119.583670000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37374630-1.37372753) × R
    1.87700000000568e-05 × 6371000     		dr = 119.583670000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39358527--2.39348940) × cos(1.37374630) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.19577730040094 × 6371000     		do = 119.578380728508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39358527--2.39348940) × cos(1.37372753) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195795707136578 × 6371000     		du = 119.589623337521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37374630)-sin(1.37372753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19577730040094-0.195795707136578)×R²
    abs(-2.39348940--2.39358527)×1.84067356371609e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.84067356371609e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.84067356371609e-05×40589641000000     		ar = 14300.2938371902m²