Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7802 / 3259
↖ ↑ ↗
← N 72.848502°
W  8.569336°		 ← 720.52 m → N 72.848502°
W  8.547363°		 →
↑
720.69 m
↓
↑
720.69 m
↓
N 72.842021°
W  8.569336°		 ← 720.79 m →
519 366 m²		 N 72.842021°
W  8.547363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476226806640625 y=0.198944091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476226806640625 × 214)
    floor (0.476226806640625 × 16384)
    floor (7802.5)     		tx = 7802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198944091796875 × 214)
    floor (0.198944091796875 × 16384)
    floor (3259.5)     		ty = 3259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7802 / 3259 ti = "14/7802/3259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7802/3259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7802 ÷ 214
    7802 ÷ 16384     		x = 0.4761962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3259 ÷ 214
    3259 ÷ 16384     		y = 0.19891357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.047607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14956313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19891357421875 × 2 - 1) × π
    0.6021728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.8917818066059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14956313} λ = -0.14956313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8917818066059))-π/2
    2×atan(6.63117362983046)-π/2
    2×1.42112127107253-π/2
    2.84224254214506-1.57079632675     		φ = 1.27144622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14956313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.569336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27144622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.848502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7802 KachelY 3259 -0.14956313 1.27144622 -8.569336 72.848502
    Oben rechts KachelX + 1 7803 KachelY 3259 -0.14917963 1.27144622 -8.547363 72.848502
    Unten links KachelX 7802 KachelY + 1 3260 -0.14956313 1.27133310 -8.569336 72.842021
    Unten rechts KachelX + 1 7803 KachelY + 1 3260 -0.14917963 1.27133310 -8.547363 72.842021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27144622-1.27133310) × R
    0.000113119999999967 × 6371000     		dl = 720.687519999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27144622-1.27133310) × R
    0.000113119999999967 × 6371000     		dr = 720.687519999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14956313--0.14917963) × cos(1.27144622) × R
    0.000383499999999981 × 0.294899277604045 × 6371000     		do = 720.52106463546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14956313--0.14917963) × cos(1.27133310) × R
    0.000383499999999981 × 0.295007365083296 × 6371000     		du = 720.785152449631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27144622)-sin(1.27133310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294899277604045-0.295007365083296)×R²
    abs(-0.14917963--0.14956313)×0.000108087479250341×R²
    0.000383499999999981×0.000108087479250341×6371000²
    0.000383499999999981×0.000108087479250341×40589641000000     		ar = 519365.702129144m²