Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7802 / 3229
↖ ↑ ↗
← N 73.041829°
W  8.569336°		 ← 712.64 m → N 73.041829°
W  8.547363°		 →
↑
712.72 m
↓
↑
712.72 m
↓
N 73.035419°
W  8.569336°		 ← 712.90 m →
508 008 m²		 N 73.035419°
W  8.547363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476226806640625 y=0.197113037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476226806640625 × 214)
    floor (0.476226806640625 × 16384)
    floor (7802.5)     		tx = 7802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197113037109375 × 214)
    floor (0.197113037109375 × 16384)
    floor (3229.5)     		ty = 3229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7802 / 3229 ti = "14/7802/3229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7802/3229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7802 ÷ 214
    7802 ÷ 16384     		x = 0.4761962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3229 ÷ 214
    3229 ÷ 16384     		y = 0.19708251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.047607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14956313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19708251953125 × 2 - 1) × π
    0.6058349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.90328666251471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14956313} λ = -0.14956313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90328666251471))-π/2
    2×atan(6.70790487153307)-π/2
    2×1.42280836443721-π/2
    2.84561672887442-1.57079632675     		φ = 1.27482040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14956313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.569336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27482040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.041829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7802 KachelY 3229 -0.14956313 1.27482040 -8.569336 73.041829
    Oben rechts KachelX + 1 7803 KachelY 3229 -0.14917963 1.27482040 -8.547363 73.041829
    Unten links KachelX 7802 KachelY + 1 3230 -0.14956313 1.27470853 -8.569336 73.035419
    Unten rechts KachelX + 1 7803 KachelY + 1 3230 -0.14917963 1.27470853 -8.547363 73.035419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27482040-1.27470853) × R
    0.000111870000000014 × 6371000     		dl = 712.723770000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27482040-1.27470853) × R
    0.000111870000000014 × 6371000     		dr = 712.723770000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14956313--0.14917963) × cos(1.27482040) × R
    0.000383499999999981 × 0.291673480368404 × 6371000     		do = 712.639543604259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14956313--0.14917963) × cos(1.27470853) × R
    0.000383499999999981 × 0.291780484205658 × 6371000     		du = 712.900983779239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27482040)-sin(1.27470853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291673480368404-0.291780484205658)×R²
    abs(-0.14917963--0.14956313)×0.000107003837254094×R²
    0.000383499999999981×0.000107003837254094×6371000²
    0.000383499999999981×0.000107003837254094×40589641000000     		ar = 508008.310012461m²