Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7802 / 10731
↖ ↑ ↗
← N 76.212515°
W137.142334°		 ← 145.56 m → N 76.212515°
W137.136841°		 →
↑
145.58 m
↓
↑
145.58 m
↓
N 76.211205°
W137.142334°		 ← 145.58 m →
21 192 m²		 N 76.211205°
W137.136841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119056701660156 y=0.163749694824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119056701660156 × 216)
    floor (0.119056701660156 × 65536)
    floor (7802.5)     		tx = 7802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163749694824219 × 216)
    floor (0.163749694824219 × 65536)
    floor (10731.5)     		ty = 10731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7802 / 10731 ti = "16/7802/10731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7802/10731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7802 ÷ 216
    7802 ÷ 65536     		x = 0.119049072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10731 ÷ 216
    10731 ÷ 65536     		y = 0.163742065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.76190185546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.39358527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163742065429688 × 2 - 1) × π
    0.672515869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11277091385436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39358527} λ = -2.39358527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11277091385436))-π/2
    2×atan(8.27112814479155)-π/2
    2×1.45047781590464-π/2
    2.90095563180928-1.57079632675     		φ = 1.33015931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39358527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.142334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33015931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.212515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7802 KachelY 10731 -2.39358527 1.33015931 -137.142334 76.212515
    Oben rechts KachelX + 1 7803 KachelY 10731 -2.39348940 1.33015931 -137.136841 76.212515
    Unten links KachelX 7802 KachelY + 1 10732 -2.39358527 1.33013646 -137.142334 76.211205
    Unten rechts KachelX + 1 7803 KachelY + 1 10732 -2.39348940 1.33013646 -137.136841 76.211205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33015931-1.33013646) × R
    2.28499999999077e-05 × 6371000     		dl = 145.577349999412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33015931-1.33013646) × R
    2.28499999999077e-05 × 6371000     		dr = 145.577349999412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39358527--2.39348940) × cos(1.33015931) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.238321336760069 × 6371000     		do = 145.563757823098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39358527--2.39348940) × cos(1.33013646) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.238343528306112 × 6371000     		du = 145.577312148019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33015931)-sin(1.33013646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238321336760069-0.238343528306112)×R²
    abs(-2.39348940--2.39358527)×2.2191546043937e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.2191546043937e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.2191546043937e-05×40589641000000     		ar = 21191.772722305m²