Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78018 / 57534
↖ ↑ ↗
← N 21.458181°
E 34.282837°		 ← 284.26 m → N 21.458181°
E 34.285584°		 →
↑
284.21 m
↓
↑
284.21 m
↓
N 21.455625°
E 34.282837°		 ← 284.26 m →
80 789 m²		 N 21.455625°
E 34.285584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595233917236328 y=0.438953399658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595233917236328 × 217)
    floor (0.595233917236328 × 131072)
    floor (78018.5)     		tx = 78018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438953399658203 × 217)
    floor (0.438953399658203 × 131072)
    floor (57534.5)     		ty = 57534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78018 / 57534 ti = "17/78018/57534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78018/57534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78018 ÷ 217
    78018 ÷ 131072     		x = 0.595230102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57534 ÷ 217
    57534 ÷ 131072     		y = 0.438949584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595230102539062 × 2 - 1) × π
    0.190460205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59834838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438949584960938 × 2 - 1) × π
    0.122100830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.383591070759689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59834838} λ = 0.59834838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.383591070759689))-π/2
    2×atan(1.46754519681906)-π/2
    2×0.97265611947135-π/2
    1.9453122389427-1.57079632675     		φ = 0.37451591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59834838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.282837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37451591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.458181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78018 KachelY 57534 0.59834838 0.37451591 34.282837 21.458181
    Oben rechts KachelX + 1 78019 KachelY 57534 0.59839632 0.37451591 34.285584 21.458181
    Unten links KachelX 78018 KachelY + 1 57535 0.59834838 0.37447130 34.282837 21.455625
    Unten rechts KachelX + 1 78019 KachelY + 1 57535 0.59839632 0.37447130 34.285584 21.455625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37451591-0.37447130) × R
    4.46100000000005e-05 × 6371000     		dl = 284.210310000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37451591-0.37447130) × R
    4.46100000000005e-05 × 6371000     		dr = 284.210310000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59834838-0.59839632) × cos(0.37451591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930684821744963 × 6371000     		do = 284.255100388037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59834838-0.59839632) × cos(0.37447130) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.930701140139962 × 6371000     		du = 284.260084445905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37451591)-sin(0.37447130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930684821744963-0.930701140139962)×R²
    abs(0.59839632-0.59834838)×1.63183949984935e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63183949984935e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63183949984935e-05×40589641000000     		ar = 80788.9384741397m²