Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78013 / 57528
↖ ↑ ↗
← N 21.473517°
E 34.269104°		 ← 284.17 m → N 21.473517°
E 34.271850°		 →
↑
284.21 m
↓
↑
284.21 m
↓
N 21.470961°
E 34.269104°		 ← 284.17 m →
80 764 m²		 N 21.470961°
E 34.271850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595195770263672 y=0.438907623291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595195770263672 × 217)
    floor (0.595195770263672 × 131072)
    floor (78013.5)     		tx = 78013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438907623291016 × 217)
    floor (0.438907623291016 × 131072)
    floor (57528.5)     		ty = 57528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78013 / 57528 ti = "17/78013/57528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78013/57528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78013 ÷ 217
    78013 ÷ 131072     		x = 0.595191955566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57528 ÷ 217
    57528 ÷ 131072     		y = 0.43890380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595191955566406 × 2 - 1) × π
    0.190383911132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.59810870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43890380859375 × 2 - 1) × π
    0.1221923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.38387869215741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59810870} λ = 0.59810870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.38387869215741))-π/2
    2×atan(1.46796735492773)-π/2
    2×0.972789954863186-π/2
    1.94557990972637-1.57079632675     		φ = 0.37478358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59810870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.269104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37478358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.473517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78013 KachelY 57528 0.59810870 0.37478358 34.269104 21.473517
    Oben rechts KachelX + 1 78014 KachelY 57528 0.59815663 0.37478358 34.271850 21.473517
    Unten links KachelX 78013 KachelY + 1 57529 0.59810870 0.37473897 34.269104 21.470961
    Unten rechts KachelX + 1 78014 KachelY + 1 57529 0.59815663 0.37473897 34.271850 21.470961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37478358-0.37473897) × R
    4.46100000000005e-05 × 6371000     		dl = 284.210310000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37478358-0.37473897) × R
    4.46100000000005e-05 × 6371000     		dr = 284.210310000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59810870-0.59815663) × cos(0.37478358) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.930586868821061 × 6371000     		do = 284.165895354059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59810870-0.59815663) × cos(0.37473897) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.930603198328655 × 6371000     		du = 284.170881765646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37478358)-sin(0.37473897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930586868821061-0.930603198328655)×R²
    abs(0.59815663-0.59810870)×1.6329507594004e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.6329507594004e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.6329507594004e-05×40589641000000     		ar = 80763.5858182032m²