Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78012 / 57523
↖ ↑ ↗
← N 21.486297°
E 34.266357°		 ← 284.20 m → N 21.486297°
E 34.269104°		 →
↑
284.21 m
↓
↑
284.21 m
↓
N 21.483741°
E 34.266357°		 ← 284.21 m →
80 773 m²		 N 21.483741°
E 34.269104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595188140869141 y=0.438869476318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595188140869141 × 217)
    floor (0.595188140869141 × 131072)
    floor (78012.5)     		tx = 78012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438869476318359 × 217)
    floor (0.438869476318359 × 131072)
    floor (57523.5)     		ty = 57523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78012 / 57523 ti = "17/78012/57523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78012/57523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78012 ÷ 217
    78012 ÷ 131072     		x = 0.595184326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57523 ÷ 217
    57523 ÷ 131072     		y = 0.438865661621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595184326171875 × 2 - 1) × π
    0.19036865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59806076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438865661621094 × 2 - 1) × π
    0.122268676757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.38411837665551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59806076} λ = 0.59806076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.38411837665551))-π/2
    2×atan(1.46831924611617)-π/2
    2×0.972901473592943-π/2
    1.94580294718589-1.57079632675     		φ = 0.37500662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59806076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.266357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37500662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.486297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78012 KachelY 57523 0.59806076 0.37500662 34.266357 21.486297
    Oben rechts KachelX + 1 78013 KachelY 57523 0.59810870 0.37500662 34.269104 21.486297
    Unten links KachelX 78012 KachelY + 1 57524 0.59806076 0.37496201 34.266357 21.483741
    Unten rechts KachelX + 1 78013 KachelY + 1 57524 0.59810870 0.37496201 34.269104 21.483741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37500662-0.37496201) × R
    4.46100000000005e-05 × 6371000     		dl = 284.210310000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37500662-0.37496201) × R
    4.46100000000005e-05 × 6371000     		dr = 284.210310000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59806076-0.59810870) × cos(0.37500662) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.930505197167782 × 6371000     		do = 284.200238419288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59806076-0.59810870) × cos(0.37496201) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.930521535934218 × 6371000     		du = 284.205228699117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37500662)-sin(0.37496201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930505197167782-0.930521535934218)×R²
    abs(0.59810870-0.59806076)×1.63387664356973e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.63387664356973e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.63387664356973e-05×40589641000000     		ar = 80773.3470211156m²