Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7801 / 4947
↖ ↑ ↗
← N 57.856443°
W  8.591308°		 ← 1 299.89 m → N 57.856443°
W  8.569336°		 →
↑
1 300.13 m
↓
↑
1 300.13 m
↓
N 57.844751°
W  8.591308°		 ← 1 300.32 m →
1 690 305 m²		 N 57.844751°
W  8.569336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476165771484375 y=0.301971435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476165771484375 × 214)
    floor (0.476165771484375 × 16384)
    floor (7801.5)     		tx = 7801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301971435546875 × 214)
    floor (0.301971435546875 × 16384)
    floor (4947.5)     		ty = 4947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7801 / 4947 ti = "14/7801/4947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7801/4947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7801 ÷ 214
    7801 ÷ 16384     		x = 0.47613525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4947 ÷ 214
    4947 ÷ 16384     		y = 0.30194091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47613525390625 × 2 - 1) × π
    -0.0477294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14994662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30194091796875 × 2 - 1) × π
    0.3961181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24444191413666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14994662} λ = -0.14994662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24444191413666))-π/2
    2×atan(3.47099714426025)-π/2
    2×1.29029087771876-π/2
    2.58058175543752-1.57079632675     		φ = 1.00978543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14994662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.591308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00978543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.856443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7801 KachelY 4947 -0.14994662 1.00978543 -8.591308 57.856443
    Oben rechts KachelX + 1 7802 KachelY 4947 -0.14956313 1.00978543 -8.569336 57.856443
    Unten links KachelX 7801 KachelY + 1 4948 -0.14994662 1.00958136 -8.591308 57.844751
    Unten rechts KachelX + 1 7802 KachelY + 1 4948 -0.14956313 1.00958136 -8.569336 57.844751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00978543-1.00958136) × R
    0.00020406999999989 × 6371000     		dl = 1300.1299699993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00978543-1.00958136) × R
    0.00020406999999989 × 6371000     		dr = 1300.1299699993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14994662--0.14956313) × cos(1.00978543) × R
    0.000383490000000014 × 0.532042413838351 × 6371000     		do = 1299.89389439721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14994662--0.14956313) × cos(1.00958136) × R
    0.000383490000000014 × 0.532215192440623 × 6371000     		du = 1300.31602963367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00978543)-sin(1.00958136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532042413838351-0.532215192440623)×R²
    abs(-0.14956313--0.14994662)×0.000172778602271495×R²
    0.000383490000000014×0.000172778602271495×6371000²
    0.000383490000000014×0.000172778602271495×40589641000000     		ar = 1690305.4311269m²