Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78009 / 57462
↖ ↑ ↗
← N 21.642111°
E 34.258118°		 ← 283.89 m → N 21.642111°
E 34.260864°		 →
↑
283.89 m
↓
↑
283.89 m
↓
N 21.639558°
E 34.258118°		 ← 283.90 m →
80 596 m²		 N 21.639558°
E 34.260864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595165252685547 y=0.438404083251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595165252685547 × 217)
    floor (0.595165252685547 × 131072)
    floor (78009.5)     		tx = 78009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438404083251953 × 217)
    floor (0.438404083251953 × 131072)
    floor (57462.5)     		ty = 57462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78009 / 57462 ti = "17/78009/57462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78009/57462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78009 ÷ 217
    78009 ÷ 131072     		x = 0.595161437988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57462 ÷ 217
    57462 ÷ 131072     		y = 0.438400268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595161437988281 × 2 - 1) × π
    0.190322875976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.59791695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438400268554688 × 2 - 1) × π
    0.123199462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.387042527532333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59791695} λ = 0.59791695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387042527532333))-π/2
    2×atan(1.47261911679858)-π/2
    2×0.974261212402538-π/2
    1.94852242480508-1.57079632675     		φ = 0.37772610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59791695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.258118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37772610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.642111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78009 KachelY 57462 0.59791695 0.37772610 34.258118 21.642111
    Oben rechts KachelX + 1 78010 KachelY 57462 0.59796489 0.37772610 34.260864 21.642111
    Unten links KachelX 78009 KachelY + 1 57463 0.59791695 0.37768154 34.258118 21.639558
    Unten rechts KachelX + 1 78010 KachelY + 1 57463 0.59796489 0.37768154 34.260864 21.639558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37772610-0.37768154) × R
    4.45600000000268e-05 × 6371000     		dl = 283.891760000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37772610-0.37768154) × R
    4.45600000000268e-05 × 6371000     		dr = 283.891760000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59791695-0.59796489) × cos(0.37772610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929505670019564 × 6371000     		do = 283.894957099735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59791695-0.59796489) × cos(0.37768154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929522103173287 × 6371000     		du = 283.899976207871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37772610)-sin(0.37768154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929505670019564-0.929522103173287)×R²
    abs(0.59796489-0.59791695)×1.64331537225726e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64331537225726e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64331537225726e-05×40589641000000     		ar = 80596.1514811954m²